Fonction (mathématiques)

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Sommaire

1 Présentation

2 Définition

3 Notion d’application

3.1 Définition
3.2 Exemples

4 Restriction d’une fonction

5 Composition des fonctions

6 Injectivité et surjectivité

7 Réciproque d'une fonction

8 Décomposition canonique

9 Parité d’une fonction réelle

Présentation

On peut voir une fonction comme une « transformation » d’un objet en un autre objet. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment les nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en formes géométriques (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment une forme géométrique en un nombre (par exemple la longueur d’un segment, l’aire délimitée par un polygone...).

Définition

Formellement, une fonction f d’un ensemble E dans un ensemble F est une correspondance ou relation qui est fonctionnelle;

c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G est un sous-ensemble de E xF dans lequel chaque élément de E n’apparait au plus qu’une fois.

E est l’ensemble de départ de f ;
F est l’ensemble d’arrivée de f ;
et G est le graphe de f ; G est noté parfois « G_f » ou « G( f ) » pour préciser de quelle fonction on parle.

On appelle ensemble de définition de la fonction f l’ensemble-antécédent de f, c’est-à-dire l’ensemble des éléments x de E tels qu’il existe un élément y dans F vérifiant ( x , y ) ∈ G. L'ensemble de définition de f, noté habituellement « D( f ) » , est un sous-ensemble de E.

Pour tout x de D( f ) , on note « f ( x ) » l’unique élément de F tel que ( x , f ( x )) ∈ G.

Si X et Y sont deux variables, dans Y = f ( X ) , X est une variable indépendante et Y une variable dépendante ( de X ).

On appelle ensemble-image de f l’ensemble des éléments y de F tels qu’il existe un élément x dans E vérifiant f ( x ) = y.

L’ensemble-image de f, noté « Im( f ) » , est un sous-ensemble de F.

L’image par f d’un sous-ensemble E ' de E est : f ( E ' ) = { y ∈ F | ∃ x ∈ E / f ( x ) = y }.

C’est un sous-ensemble de F , et on a : Im( f ) = f ( E ).

L’image réciproque ou antécédent par f d’un sous-ensemble F ' de F est : f^-1( F ' ) = { x ∈ E | ∃ y ∈ F ' / y = f ( x ) }.

C’est un sous-ensemble de E , et on a : D( f ) = f^-1( F ).

On peut appliquer une fonction f en un point x de son ensemble de définition ; le résultat est noté f ( x ) , et c'est l’unique élément de l’image tel que ( x , f ( x )) ∈ G_f .

Notion d’application

Définition

Formellement, une application f d’un ensemble E dans un ensemble F est une fonction applicative, c'est-à-dire une correspondance dont tout élément de l'ensemble de départ E a une et une seule image :

c’est donc un triplet ( E , F , G ) où G est un sous-ensemble de E xF dans lequel chaque élément de E apparait une et une seule fois.

C'est aussi une fonction telle que D( f ) = E.

Exemples

L’identité ou application identique d’un ensemble est l’application de cet ensemble dans lui-même qui à chaque élément associe cet élément et lui seul (son graphe est donc la diagonale de l’ensemble).

Si E et F sont des ensembles non vides, et si b est un élément de F , on peut définir l’application constante de valeur b , de E dans F , qui à tout élément associe b (son graphe est donc { ( x , b ) | x ∈ E } ).

Restriction d’une fonction

Soit la fonction f : E → F . Si E ' est un sous-ensemble de E , on appelle restriction de f à E ' la fonction notée « f |_{E '} » de E ' dans F dont le graphe est :

G( f |_{E '} ) = { ( x , y ) | x ∈ E ' ∧ y ∈ F ∧ y = f( x ) }

Remarque : la condition y = f ( x ) ci-dessus implique que x appartient à D( f ) et que y appartient à Im( f ).

Composition des fonctions

La composition de deux fonctions permet d’obtenir une troisième fonction, en « appliquant » la deuxième fonction au résultat de la première.

Soient deux fonctions : f : E → F et g : F → G ; leur fonction composée g o f a pour graphe:

$G_{g \circ f} = \left\{ ( x , z ) \in E \times G \; | \; \exists y \in F /\, ( x , y )\in G_f \and ( y , z ) \in G_g \right\} \,$

(c’est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général!)

En particulier, si x est dans l’ensemble de définition de g o f , on a : g o f ( x ) = g [ f ( x )].

Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et que la composée de deux fonctions est une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine de définition vide!

Injectivité et surjectivité

Une fonction f est dite injective ( ou que c'est une injection, s'il s'agit d'une application ) lorsque :

$\forall x \in E , \forall y \in E , [ f ( x ) = f ( y ) ] \Rightarrow [ x = y ] \,$ .

Cela signifie que la fonction « distingue » les différents éléments de son domaine de définition.

La composée de deux injections est une injection et, inversement, si g o f est une injection, alors f est une injection.

Une fonction f est dite surjective ( ou que c'est une surjection , s'il s'agit d'une application ) lorsque :

$\forall y \in F , \exists x \in E /\, f ( x ) = y$ .

En d'autres termes, f est surjective ssi l'image de f est l'ensemble d'arrivée tout entier; cela signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ.

La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si g o f est une surjection, alors g est une surjection.

Une application est dite bijective ( ou que c'est une bijection ) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Bien sûr, les applications ne sont pas toutes des bijections !

La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si dans le cas où la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Réciproque d'une fonction

La correspondance réciproque d’une fonction f est une fonction ssi f est injective, et cette fonction réciproque est elle-même injective. La notation habituelle pour cette fonction réciproque est « f^-1 » , mais elle entraîne un risque de confusion avec la fonction inverse de f, 1 / f , qui peut aussi se noter « f^-1 » , et il faut donc se montrer très prudent dans son emploi.

De manière analogue, la correspondance réciproque d’une application f est une application ssi f est bijective, et cette application réciproque est elle-même une bijection.

Décomposition canonique

On appelle relation binaire associée canoniquement à la fonction f la correspondance f^-1 o f définie dans E par :

« x est en relation avec y ssi x et y ont une image commune par f »

Cette relation est toujours symétrique et transitive, mais n'est une relation d'équivalence que si f est une application ( voir l'article « Opération sur des correspondances » ).

Nous pouvons alors définir l'ensemble quotient E / ( f^-1 o f ) et la surjection canonique s correspondante, associée à l'application f. Cette surjection associe à tout élément x de E sa classe d'équivalence par f^-1 o f , qui n'est autre que f^-1 ( { f ( x ) } ), ensemble des antécédents de f ( x ).

Considérons alors la correspondance i de E / ( f^-1 o f ) dans F définie par :

« A est en relation avec y ssi A est l'ensemble des antécédents de y par f^-1 o f »

Cette correspondance est une injection, l' injection canonique associée à l'application f. On montre aisément que : f = i o s.

En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :

la surjection s est une bijection ssi f est une injection, c'est-à-dire si f^-1 o f = Id_E.
l'injection i est une bijection ssi f est une surjection, c'est-à-dire si f o f^-1 = Id_F.

Ce qui précède peut être étendue à une fonction quelconque, à condition de « compléter » le graphe de f^-1 o f par la diagonale de E, de façon à rendre la relation réflexive et en faire ainsi une relation d'équivalence. Nous retrouvons alors la décomposition précédente, à ceci près que i n'est plus qu'une fonction.

En résumé : Toute fonction peut être décomposée de façon unique en une surjection et une fonction injective.
Cette décomposition est la décomposition canonique de la fonction.