Trigonométrie sphérique

La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie plane (à 2 dimensions, valable dans un plan) mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.

Les règles habituelles de la trigonométrie plane ne sont plus d'application ; par exemple la somme des angles d'un triangle situé sur une sphère est supérieure à 180 degrés et les segments de droites deviennent des arcs de grands cercles.

Sommaire

1 Le triangle sphérique

1.1 Formules premières
1.2 Autres formules

1.2.1 Formules des demi-angles et demi-côtés
1.2.2 Formules de Gauß
1.2.3 Analogies de Napier
1.2.4 Aire du triangle sphérique
1.2.5 Formule de l'Huilier

2 Liens externes

Le triangle sphérique

Formules premières

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triangle sphérique

On considère trois points A, B et C sur une sphère comme représentés par la figure ci-contre, on note a la longueur (sur la surface de la sphère) du côté opposé au sommet A et α l'angle (toujours sur la surface de la sphère) du triangle en ce sommet, et de façon analogue pour les autres sommets. Les longueurs a, b et c seront en fait considérées comme des angles dans ce qui suit, à savoir les angles sous-tendus au centre de la sphère par la partie de grand cercle correspondante (par exemple, l'angle de 2π est la circonférence de la sphère).

La relation la plus importante de la trigonométrie sphérique est la suivante, qui relie la longueur d'un côté à celles de deux autres côtés ainsi que l'angle entre eux :

$\cos c = \cos a\, \cos b + \sin a\, \sin b\, \cos\gamma$

(cela se démontre par exemple en exprimant de plusieurs façons le produit scalaire, dans l'espace euclidien ambiant, entre les vecteurs reliant le centre O de la sphère aux points A et B). Dans le cas particulier où le triangle est rectangle en C, on obtient cosc = cosa cosb, formule analogue du théorème de Pythagore pour la trigonométrie sphérique (remarquer notamment que si on développe le cosinus au deuxième ordre, c'est-à-dire si le triangle est suffisamment petit on retrouve effectivement le théorème de Pythagore). La formule ci-dessus permet également, si on considère deux points A et B sur la Terre et C le pôle nord, de calculer la distance entre A et B en fonction de leurs latitudes (complémentaires à a et b) et de la différence entre leurs longitudes (γ). La relation peut également s'écrire

$\cos\gamma = \frac{\cos c - \cos a\,\cos b}{\sin a\,\sin b}$

qu'il ne faut pas confondre avec la relation duale (obtenue en remplaçant, dans la relation initiale, tous les grands cercles par leurs points polaires), soit

$\cos\gamma = -\cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c$

soit encore

$\cos c = \frac{\cos\gamma + \cos\alpha\,\cos\beta}{\sin\alpha\,\sin\beta}$

On remarquera en particulier que d'après cette dernière formule, un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles, ce qui est très différent du triangle euclidien (plan). Il y a une analogie parfaite (de dualité), dans le triangle sphérique, entre longueurs des côtés et angles aux sommets. Pour illustrer cette analogie, on peut d'ailleurs mentionner la formule des sinus,

sin a :sin b :sin c = sinα:sinβ:sinγ

ce qui doit se comprendre comme « les trois quantités de gauche sont dans les même proportions que les trois quantités de droite (le rapport entre deux quelconques à gauche est le même que le rapport correspondant à droite) ».

Autres formules

Formules des demi-angles et demi-côtés

Soit s=½(a+b+c) le demi-périmètre du triangle. Alors on a

$\tan^2\frac{\gamma}{2} = \frac{\sin(s-a)\,\sin(s-b)}{\sin s\,\sin(s-c)}$

et pour les formules duales, si σ=½(α+β+γ) :

$tan^2\frac{c}{2} = - \frac{\cos\sigma\,\cos(\sigma-\gamma)}{\cos(\sigma-\alpha)\, \cos(\sigma-\beta)}$

Formules de Gauß

On a $\frac{\cos\frac{a+b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}$ et $\frac{\sin\frac{a+b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}$ ainsi que $\frac{\cos\frac{a-b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}$ et $\frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}$

Analogies de Napier

Elles s'obtiennent en combinant deux à deux les formules de Gauß :

$\tan\frac{c}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = \tan\frac{a+b}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\tan\frac{c}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} = \tan\frac{a+b}{2} \sin\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\cot\frac{\gamma}{2} \cos\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{a+b}{2}$
$\cot\frac{\gamma}{2} \sin\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{a+b}{2}$

Aire du triangle sphérique

De façon remarquable, l'aire ε du triangle sphérique se calcule très simplement à partir de ses trois angles : elle est exactement égale à son défaut d'euclidianité

$\varepsilon = \alpha+\beta+\gamma-\pi = 2\sigma-\pi$

où ε est exprimé en stéradians (pour α, β et γ exprimés en radians).

Formule de l'Huilier

Cette formule est analogue à la formule de Héron qui calcule l'aire d'un triangle euclidien en fonction de ses côtés, et elle fait la même chose pour le triangle sphérique :

$\tan\frac{s}{2} \tan\frac{s-a}{2} \tan\frac{s-b}{2} \tan\frac{s-c}{2} = \tan^2\frac{\varepsilon}{4}$

(on rappelle qu'on a appelé s=(a+b+c)/2 le demi-périmètre).