Trigonométrie classique et formules

Sommaire

1 Sinus, cosinus, tangente et cotangente

2 Inversion des fonctions circulaires

3 Formules d'addition

4 Formules de Simpson : transformation de produits en sommes

5 Formules de Simpson : transformation de sommes en produits

6 Formules d'Euler

7 Les fonctions inverses arcsin, arccos et arctan

8 Formules relatives aux tangentes

9 Les fonctions hyperboliques

Sinus, cosinus, tangente et cotangente

$\cos(\vec u,\vec v)=\frac{\vec u.\vec v}{\left\|\vec u\right\|\times\left\|\vec v\right\|}$
$\sin(\vec u,\vec v)=\frac{det(\vec u,\vec v)}{\left\|\vec u\right\|\times\left\|\vec v\right\|}$
Relation fondamentale : $\cos^2a+sin^2a=1 \,$
$\tan (a) = \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$
$\cot (a) = \frac{1} {\tan (a)} = \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$
$1+\tan^2a=\frac{1}{\cos^2a}$ = sec^2a
$1+\cot^2a=\frac{1}{\sin^2a}$ = cosec^2a

Voir : Fonction trigonométrique

Inversion des fonctions circulaires

$\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad ou \quad x=-a+2k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

$\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2k\pi \quad ou \quad x=\pi-a+2k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

$\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+k\pi \qquad(k\in\mathbb{Z})$

Formules d'addition

$\sin (a + b) = \sin(a).\cos(b) + \cos(a).\sin(b) \,$
$\sin (a - b) = \sin(a).\cos(b) - \cos(a).\sin(b) \,$
$\cos (a + b) = \cos(a) . \cos(b) - \sin(a) . \sin(b) \,$
$\cos (a - b) = \cos(a) . \cos(b) + \sin(a) . \sin(b) \,$

Truc pour les retenir : « le cosinus est méchant » (en effet, il ne sympathise pas avec les sinus, et, en plus, il change les signes !)

$\tan (a + b) = \frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$
$\tan (a - b) = \frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

Insérer un texte non formaté ici== Formules de duplication ==

$\sin (2a) = 2 \sin(a) . \cos(a) \,$
$\cos (2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)= 2\cos^2(a) - 1= 1 - 2\sin^2(a) \,$

Formules de Simpson : transformation de produits en sommes

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$
$\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$
$\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$

Formules de Simpson : transformation de sommes en produits

$\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$
$\sin p - \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$
$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$
$\cos p - \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$

Moyen mnémotechnique :
Si, coco, si; coco, si si ! Priorité au sinus et à l'addition, -2 à la dernière

Formules d'Euler

$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

Les fonctions inverses arcsin, arccos et arctan

Ce sont les fonctions reciproques des fonctions sin, cos et tan.

$y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\mathrm{\ avec\ }y\in\left[\frac{-\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right]$
$y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\mathrm{\ avec\ }y\in\left[0\,;\pi\right]$
$y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\mathrm{\ avec\ }y\in\left]\frac{-\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$

Formules relatives aux tangentes

Posons $t = \frac{\theta}{2}$ . On a alors :

$\sin\theta = \frac{2t}{1 + t^2}$
$\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
$\tan\theta = \frac{2t}{1 - t^2}$

Les fonctions hyperboliques

Cosinus hyperbolique :

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ où $x\mapsto e^x$ designe la fonction exponentielle (le nombre e étant la base du logarithme népérien).

Sinus hyperbolique :

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Tangente hyperbolique :

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Voir : Fonction hyperbolique

Voir aussi

See also: Trigonométrie classique et formules, Exponentielle, Fonction hyperbolique, Fonction trigonométrique, Logarithme, Mathématiques, Triangle