Triangulation
Mathématiques
En topologie, une triangulation d'un espace topologique X est un complexe simplicial K homéomorphe à X, et un homéomorphisme h:K→X. Dans les termes de Layman, si X est un plan alors une triangulation est une façon de découper X en une collection de triangles.
La triangulation est utile pour déterminer les propriétés d'un espace topologique.
La Triangulation est aussi le processus qui permet de déterminer une distance en calculant la longueur de l'un des côtés d'un triangle, et en mesurant deux angles de ce triangle. Cette méthode utilise des identités trigonométriques.
600 ans avant notre ère, Thalès mit au point une méthode pour évaluer la distance d'un bateau en mer à la côte. Pour avoir une mesure approximative de cette distance, il plaça deux observateurs A et C sur le rivage éloignés d'une distance b connue. Il demanda à chacun d'entre eux de mesurer l'angle que font les droites passant par le bateau B et l'un d'entre eux, et la droite passant par les deux observateurs :
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La méthode a un intérêt si nous voulons déterminer de grandes distances ; mais dans ce cas nous devons placer les deux observateurs suffisamment éloignés l'un de l'autre, pour que les mesures d' angle soient plus précises.
Les propriétés souvent utilisées pour la triangulation sont:
- La somme des angles d'un triangle est égale à π radians (180 degrés).
- La loi des sinus
- Le théorème d'Al-Kashi
- Le théorème de Pythagore
Applications
La triangulation est utilisée dans diverses secteurs, comme la survie, la navigation, l'astronomie, dans l'armement (fusées).
Un navire peut ainsi connaître sa position en relevant la direction d'observation (angle par rapport au Nord) de deux points distants ; il lui suffit alors, sur une carte, de tracer les droites passant par les points observés et ayant la direction relevée, l'intersection de ces droites étant la position du navire.
Dans le cas d'ondes électromagnétiques (par exemple des ondes radio), la position peut se déterminer de deux mannières. La première manière consiste à utiliser une antenne directionnelle (c'est-à-dire une antenne ne captant que les ondes venant d'une direction donnée) ; l'orientation pour laquelle le signal est le plus fort donne la direction de l'émetteur, il suffit alors de faire plusieurs relevés pour avoir la position de l'émetteur. Cette méthode était par exemple utilisée durant l'occupation allemande de la France pour détecter les émetteurs radio pirates.
La deuxième méthode consiste à utiliser l'intensité du signal collectée par une antenne non directionnelle. Si le milieu de propagation est homogène et isotrope, l'intensité dimminue selon le carré de la distance (l'énergie se répartit sur une sphère grandissante). L'intensité permet donc d'estimer la distance, et donc de situer l'émetteur sur un cercle centré sur le récepteur. Un deuxième récepteur permet de tracer un second cercle, l'émetteur se trouve donc à l'intersection des deux cercles ; un troisième récepteur permet de déterminer lequel des deux points d'intersection est le bon (ou bien la logique, un navire ne peut pas se trouver sur les terres). Cette méthode est aussi utilisée en sismologie pour connaître la position de la l'épicentre d'un séisme ; on considère alors l'intersection de sphères (on n'a plus la contrainte d'un émetteur situé en surface), et il faut corriger les calculs de l'hétérogénéité du milieu (variation de l'indice de réfraction en fonction de la profondeur, réflexion et réfraction sur le manteau...).
Si l'on ne connaît pas l'intensité de l'émétteur ni le rendement des récepteurs, il faut se trouver les positions pour lesquelles le signal est reçu avec la même intensité ; l'émetteur se trouce alors sur la médiatrice du segment constitué par les deux récepteurs. On peut localiser la source avec avec un deuxième relevé, à l'intersection des deux médiatrices. La méthode des médiatrices, légèrement modifiée, est utilisée en sauvetage-déblaiement pour localiser des victimes ensevelies avec un géostéréophone.