Triangle de Pascal

En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et colonne j (0 ≤ j ≤ i) est placé le coefficient binomial $C_i^j$ .

Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal ou le tétraèdre du Pascal.

En écrivant la formule de Pascal,

pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, $C_i^j=C_{i-1}^{j-1}+C_{i-1}^{j}$

nous remarquons que le coefficient de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus nous savons que

$C_n^0=C_n^n=1$ .

Nous en déduisons une méthode de construction du triangle de Pascal :

nous plaçons dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
en partant du haut et en descendant, nous complétons le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.

Voici 14 lignes du triangle du Pascal:

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1
1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
1	13	78	286	715	1287	1716	1716	1287	715	286	78	13	1

Sommaire

1 Utilisations du triangle de Pascal

1 Algorithme de construction
2 Histoire
3 Voir aussi

Utilisations du triangle de Pascal

La triangle du Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. Par exemple

(X + 1) 2 = 1 X 2 + 2 X + 1 2

Notez que les coefficients de chaque monôme, sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal, c'est-à-dire 1, 2, 1. Ainsi quand nous effectuons un développement de la forme

$(X+Y)^n=aX^n+bX^{n-1}Y+cX^{n-1}Y^2+\ldots+zY^n$ ,

les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1ème ligne du triangle de Pascal.

Démonstration

Cette formule se démontre simplement par récurrence :

hypothèse de récurrence: $(a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,C_{n}^{i}a^{n-i}b^{i}$

Cette hypothèse est vraie au rang 1 :

$\begin{matrix} (a+b)^1= a+b &=&C_{1}^{0}a^1b^0+C_{1}^{1}a^0b^1 \\ \ &=&1a + 1b = a+b\\ \end{matrix}$

Montrons que si elle vraie pour n alors elle est vraie pour n+1:

$(a+b)^{n+1}\,$	$=(a+b)(a+b)^n\,$
	$=(a+b)\sum_{i=0}^n\,C_{n}^{i}a^{n-i}b^{i}$
	$=\sum_{i=0}^n\,C_{n}^{i}a^{n+1-i}b^{i}+\sum_{i=0}^n\,C_{n}^{i}a^{n-i} b^{i+1}$
	$=C_{n}^{0}a^{n+1}+\sum_{i=0}^{n-1}\,\left(C_{n}^{i}+C_{n}^{i+1}\right )a^{n-i}b^{i+1}+C_{n}^{n}b^{n+1}$
	$=C_{n}^{0}a^{n+1}+\sum_{i=0}^{n-1}\,C_{n+1}^{i+1}a^{n-i}b^{i+1}+C_{n} ^{n}b^{n+1}$
	$=C_{n}^{0}a^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}\,C_{n+1}^{i}a^{n+1-i}b^{i}+C_{n}^{n} b^{n+1}$
	$=\sum_{i=0}^{n+1}\,C_{n+1}^{i}a^{n+1-i}b^{i}$

La formule est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout n.

Par ailleurs, quand le triangle de Pascal est construit avec une longueur 2ⁿ, en supprimant tous les nombres impairs, nous obtenons une approximation du triangle de Sierpinski.

Algorithme de construction

Écrivons l'algorithme, en langage formel, de construction du triangle de Pascal. Notez que cet algorithme crée une nouvelle ligne à partir de la précédente.

Variables :
 Tableau de 1 à 50 de tableau de 1 à 50 d'entiers c (tableau bidimensionnel)
 Entiers i, j, n

n ← 10
 c[0][0] ← 1
 
 pour i de 1 à n faire
      c[i][0] ← 1
      c[i][i] ← 1
      pour j de 1 à n-1 faire
           c[i][j] ← c[i-1][j-1] + c[i-1][j]

afficher_tableau(c)

Histoire

Le triangle de Pascal, n'a pas été découvert pour la première fois dans l'Histoire par Blaise Pascal, mais la source la plus ancienne remonte à Omar Khayyam au XI^e siècle.

Triangle de Pascal

Utilisations du triangle de Pascal

Algorithme de construction

Histoire

Voir aussi

See also: Triangle de Pascal, Coefficient binomial, Combinaison, Combinatoire, Formule du binôme de Newton, Histoire, Mathématiques, Nombre impair, Omar Khayyam