Transformation de Lorentz

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Les transformations de Lorentz interviennent en relativité restreinte pour expliquer que la vitesse de la lumière soit la même dans tous les référentiels inertiels.

Présentation élémentaire

Soient deux référentiels $\mathbb R$ et $\mathbb R'$ , ce dernier étant en translation rectiligne par rapport à $\mathbb R$ à la vitesse v selon l'axe Ox, et les axes des deux référentiels restant parallèles. Soient $(x, t)$ les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel $\mathbb R$ , et $(x', t')$ ses coordonnées dans le référentiel $\mathbb R'$ . (Pour simplifier les notations, on ne tiendra pas compte dans ce paragraphe des deux autres composantes spatiales y et z).

On suppose que la transformation s'effectue au moyen d'un opérateur linéaire :

$\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & q\\r & s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}$

Le référentiel $\mathbb R'$ se déplaçant à la vitesse v par rapport au référentiel $\mathbb R$ , on a $x = v t$ si et seulement si $x' = 0$ , ce qui donne comme première équation $0 = pv + q \quad (1)$

Réciproquement, le référentiel $\mathbb R$ se déplace à la vitesse -v par rapport au référentiel $R'$ , de sorte que $x' = - v t'$ si et seulement si $x = 0$ , donnant une deuxième équation ${q \over s} = -v$ ou bien $q + sv = 0 \quad (2)$

On veut enfin que la vitesse de la lumière c soit la même dans les deux repères, de sorte que $x = c t$ si et seulement si $x' = c t'$ ce qui donne $pc+q = c(rc+s) \quad (3)$

De ces trois équations, on en déduit que :

$\left\{\begin{matrix}q = -pv \\ s = p \\ r = - pv/c^2\end{matrix}\right.$

de sorte que :

$\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & -pv\\-pv/c^2 & p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix} \quad (4)$

Si on inverse la matrice de transformation, on trouve réciproquement que :

$\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix} = {1 \over p^2(1 - v^2/c^2)} \begin{pmatrix}p & pv\\pv/c^2 & p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} \quad (5)$

Mais cette dernière transformation (5) doit également se déduire de la tansformation (4) en échangeant les rôles des deux référentiels et donc en changeant le signe de la vitesse v. Si on suppose que la quantité p ne dépend que du module de v et donc que p est le même pour v et -v, on doit donc avoir :

${1 \over p^2(1 - v^2/c^2)} \begin{pmatrix}p & pv\\pv/c^2 & p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & pv\\pv/c^2 & p\end{pmatrix}$

ce qui impose que $p = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

La transformation obtenue est donc :

$\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \begin{pmatrix}1 & -v\\-v/c^2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}$

qu'on écrira aussi sous la forme :

$\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix} = {1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \begin{pmatrix}1 & -v/c\\-v/c & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}$

Présentation plus complète

Les transformations de Galilée conservent le produit scalaire : : $\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{A}'\cdot\vec{B}'$

Dans l'espace-temps de Minkowski, de tenseur métrique :

$\eta_{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}\right]$

Ce qui veut dire que l'on doit différencier les coordonnées covariantes, des coordonnées contravariantes. On définit la pseudo-norme : :

d s 2 = η αβ d x α d x β = d x α d x α = c 2 d t 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2

Les transformations de Lorentz doivent conserver la pseudo-norme : :

d x α d x α = d x' α d x' α

Les transformations de Lorentz doivent être linéaire à coefficients constants. Dans toute la suite, les indices primés correspondent aux coordonnées dans le référentiel $\mathbb{R'}$ , de plus les répétitions de lettres grecques voudront dire sommation de 0 à 4, et les répétitions de lettres latines de 1 à 3.

$\left\{\begin{matrix} \eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}=\sum_{\alpha=0}^{3}\sum_{\beta=0}^{3}\eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}\\ \delta_{ij}x^{i}x^{j}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\eta_{ij}x^{i}x^{j} \end{matrix}\right.$

Les transformations s'écrivent sous la forme matricielle :

$\left\{\begin{matrix} x^{\mu'}\rightarrow x^\mu=L_{\nu'}^{\mu}x^{\nu'}\\ y_{\mu'}\rightarrow y_\mu=L_{\mu}^{\nu'}y_{\nu'} \end{matrix}\right.$

Les pseudo-produits scalaires sont invariants pas transformations de Lorentz : $x^{\mu}y_{\mu}=x^{\mu'}y_{\mu'}=y_{\lambda'}L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\lambda'}x^{\rho'}$ soit donc : $L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\lambda'}=\delta_{\rho'}^{\lambda'}$ où $\delta_{\rho'}^{\lambda'}$ est le symbole de Kronecker. L'inverse de la matrice $L_{\mu}^{\nu'}$ est sa transposée : $L_{\nu'}^{\mu}$ La transformation du tenseur métrique se retrouve en ayant à l'esprit l'invariance du pseudo-produit scalaire :

x μ x μ = x λ' x λ'

$\eta_{\mu'\nu'}=\eta_{\lambda\rho}L_{\mu'}^{\lambda}L_{\nu'}^{\rho}$

On en déduit que $(d e t L) 2 = 1$ donc $d e t L = 1$ ou $d e t L = - 1$ dans la suite, on se placera dans le cas où le déterminant est positif, et $L_{0'}^{0}>0$ appelé groupe propre orthochrone de Lorentz. Les transformations s'écrivent alors :

$\left\{\begin{matrix} dx^{0}=L_{0'}^{0}dx^{0'}+L_{k'}^{0}dx^{k'}\\ dx^{i}=L_{0'}^{i}dx^{0'}+L_{k'}^{i}dx^{k'} \end{matrix}\right.$

On considère un corps au repos dans le repère $\mathbb{R'}$ , alors $d x' k = 0$ , d'où :

$\frac{dx^i}{dx^0}=\frac{L_{0'}^{i}}{L_{0'}^{0}}$

soit :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} L_{0'}^{i}=\beta^{i}L_{0'}^{0}\\ L_{0}^{i'}=L_0^{0'}\beta^{i'} \end{matrix}\right.&(1)\end{matrix}$

Ensuite il y a ces relations à démontrer :

$\left\{\begin{matrix} L_{0'}^{i}=-L_{i}^{0'}&L_{i'}^{0}=-L_{0}^{i'}&L_{i'}^{k}=-L_{k}^{i'}&(2)\\ L_{i}^{0'}=L_0^{0'}\beta_{i}&L_{0}^{i'}=L_{0'}^{0}\beta_{i'}&&(3)\\ L_{0'}^{0}\beta^i=-L_{k'}^{i}\beta^{k'}&L_{0}^{0'}\beta^{i'}=-L_{i'}^{k}\beta^{k}&&(4)\\ L_{0'}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&L_{0}^{0'}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta'^2}}&&(5)\\ detL_{k'}^{i}=L_{0'}^{0}&detL_{k}^{i'}=L_{0}^{0'}&&(6)\\ \beta^2=\beta'^2 \leftrightarrow L_{0'}^{0}=L_{0}^{0'}=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&&&(7) \end{matrix}\right.$

Pour les expressions (2), il suffit d'utiliser la relation : $L_{\mu'}^{\nu}=\eta^{\alpha\nu}\eta_{\beta'\mu'}L_{\alpha}^{\beta'}$ avec $ν = i$ , $μ = 0$ et $μ' = ν' = 0'$ soit :

$L_{0'}^{i}=\eta^{\alpha i}\eta_{\beta' 0'}L_{\alpha}^{\beta'}=\eta^{ii}\eta_{0'0'}L_{i}^{0'}=-L_{i}^{0'}$

Pour les expressions (3) :

$L_{i}^{0'}=-L_{0'}^{i}=-\beta^{i}L_{0}^{0'}=L_{0'}^{0}\beta_{i}$

Pour les expressions (4), nous partons de $L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\sigma'}=\delta_{\rho'}^{\sigma'}$ , avec $ρ' = 0'$ et $σ' = i'$

$L_{0'}^{0}L_{0}^{i'}+L_{0'}^{k}L_{k}^{i'}=\delta_{0'}^{i'}=0$

$L_{0'}^{0}L_{0}^{i'}-L_{0'}^{0}\beta_{k}L_{k}^{i'}=0$

$L_{0}^{0'}\beta^{i'}=\beta_{k}L_{k}^{i'}=-L_{k}^{i'}\beta^{k}$

$L_{0}^{0'}\beta^{i'}=-L_{i'}^{k}\beta^{k}$

Pour les expressions (5) les relations de transformations du tenseur métrique donnent :

$\eta_{\mu'\nu'}=L_{\mu'}^{\rho}L_{\nu'}^{\sigma}\eta_{\rho\sigma}$ , en prenant

μ' = ν' = 0'

$1=L_{0'}^{0}L_{0'}^{0}\eta_{00}+L_{0'}^{i}L_{0'}^{j}\eta_{ij}=(L_{0'}^{0})^2(1+\eta_{ij}\beta^{i}\beta^{j})$

$L_{0'}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Pour les expressions (6) : $L=\left(\begin{matrix} L_{0'}^{0}&L_{k'}^{0}\\L_{0'}^{i}&L_{k'}^{i} \end{matrix}\right)$ avec $L_{0'}^{i}=L_{0'}^{0}\beta^{i}$ et $L_{k'}^{0}=L_{k'}^{i}\beta_{i}$ en remarquant : $\eta_{\mu'\nu'}=L_{\mu'}^{\lambda}L_{\nu'}^{\rho}\eta_{\lambda\rho}$ pour $μ' = i'$ et $ν' = j'$ on obtient :

$\eta_{j'k'}=L_{j'}^{0}L_{k'}^{0}\eta_{00}+L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\eta_{mi}$

or : $L_{j'}^{0}=L_{0'}^{0}\beta_{j'}=-L_{0}^{0'}\beta^{j'}=L_{m}^{j'}\beta^{m}=-L_{j'}^{m}\beta_{m}$

d'où :

$-\eta_{j'k'}=L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\delta_{mi}-L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\beta_{m}\beta_{i} = L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}(\delta_{mi}-\beta_{m}\beta_{i})$

On prend le déterminant :

$1=(1-\beta^2){\cdot}(detL_{k'}^{i})^2$

$detL_{k'}^{i}=L_{0'}^{0}$

Pour les expressions (7) : Nous considérons le groupe propre orthochrone de Lorentz, donc $L_{0'}^{0}>0$ de plus $L' = L - 1$ (matrices orthogonales), on a donc : $L_{0'}^{0}=L_{0}^{0'}$ , on a donc $β 2 = β' 2$

Transformation de Lorentz

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Présentation plus complète

See also: Transformation de Lorentz, Galilée, Lorentz, Minkowski, Produit scalaire, Relativité restreinte, Science