Transformation complexe

Méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, x et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans les situations complexes.

Principe

A une grandeur : $g(t) \,$ , fonction sinusoïdale du temps d'expression :

$g(t) = \hat G . \sin (\omega t + \varphi ) \,$ ,

on fait correspondre un nombre complexe : $\bar G \,$

de module : $G \,$
d'argument : $\varphi \,$
Notation exponentielle : ,
- Remarque : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :

$\bar G = \hat G \cdot e^{j(\varphi)}\,$ ,

Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'exitence de ω pour les dérivations ou les intégrations

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

$G =\frac {\hat G}{\sqrt{2}} \,$

Opérations élémentaires

Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.

Dérivation

On dérive le nombre complexe image :

$\bar G = \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)}\,$ ,

on obtient :

$\omega \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})} \,$ ,

Intégration

On intégre le nombre complexe image et on obtient :

$\frac{1}{\omega} \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2})} \,$ ,

Transformation complexe

Principe

Opérations élémentaires

See also: Transformation complexe, Nombre complexe, Représentation de Fresnel, Signal sinusoïdal, Valeur efficace