Théorie du chaos
La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques qui, bien qu'étant en principe déterministes, arborent des comportements extrêmement complexes et paraissant désordonnés, chaotiques.
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Historique
Ses notions fondamentales prirent corps au sein des travaux d'Henri Poincaré qui fut, sans aucun doute, le précurseur de cette nouvelle approche qu'est la théorie du chaos. Tous ses travaux lancèrent sur de nouvelles bases les réflexions concernant le déterminisme et la prédictibilité. Henri Poincaré était reconnu comme un savant de premier plan, mais le reste du monde n'avait pas pu approfondir tous ses travaux, et cette branche-là fut provisoirement laissée en friche.
Norbert Wiener et John von Neumann se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul d'une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de petites causes qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de grands effets (il donna l'image du flocon de neige déclenchant une avalanche), Von Neumann y voyait une opportunité exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés ordinateurs : Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche, répondait-il à Wiener, alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas !. Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction. Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend.
En 1963, Edward Lorenz, un météorologue du Massachusetts Institute of Technology (MIT), mit en évidence le caractère chaotique des conditions météorologiques. Alors qu'il cherchait à déterminer des conditions météorologiques futures à partir de données initiales sur son ordinateur, il constata, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la Sensibilité aux conditions initiales (déjà observée en analyse numérique dans des résolutions d'équations différentielles sur ordinateur, entre autres par Marion Créhange à l'Université de Nancy).
Il utilisa pour expliquer cette notion la métaphore suivante: Le battement d'ailes d'un papillon peut (de proche en proche) provoquer une tempête aux antipodes. La découverte de Lorenz intrigua un certain nombre de physiciens et de mathématiciens. Les travaux de Poincaré connurent un regain d'intérêt et furent compris comme ils auraient dû l'être depuis longtemps. Et au début des années 1970, ils fournirent l'ossature mathématique qui allait permettre l'étude des phénomènes non-linéaires et chaotiques sous un nouveau jour.
C'est le mathématicien James A. Yorke qui a utilisé le premier le terme de « chaos ».
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Description
La physique est fondé sur le postulat que l'univers a des lois, et toute son ambition est de les trouver. De ce point de vue, il n'y a donc pas de système désordonné : tous les systèmes ont tous un ordre, des lois qui les décrivent.
Par contre, il est bien évident pour tous qu'il existe des systèmes "compliqués", dotés de trop de facteurs pour qu'on puisse tous les prendre en compte et faire des calculs de prédiction précis. Ces systèmes apparaissent désordonnés.
Si on examine un gaz, par exemple, le nombre de molécules empêche de faire des calculs sur la position et l'état de chacune. Paradoxalement, ce grand nombre permet de définir un comportement moyen et, à partir de là, de définir des variables macroscopiques (température, pression), et des lois qui s'y appliquent.
La théorie du chaos s'attache à d'autres systèmes qui apparaissent désordonnés, non pas en raison d'un trop grand nombre d'éléments (complication), mais à cause d'un comportement très surprenant (complexité) ; bien sur, un système peut être compliqué et complexe, par exemple les phénomènes météorologiques ou l'économie). Or la complexité commence très tôt en physique, puisque déjà avec trois corps on est dans le trop complexe pour les calculs de gravitation !
Cette complexité se mesure à la sensibilité du système à d'infimes divergences, et à la façon dont une petite différence initiale se propage sur le résultat final. Trois cas sont interressant
- les systèmes stables aboutissent au même résultat : la petite divergence initiale s'amortit (tant qu'elle n'excède pas une certaine valeur). La hauteur finale d'une balle est dans ce cas : qu'on tape plus ou moins fort, elle finira par terre.
- les systèmes simples aboutissent à un résultat un peu différent, mais dont la différence est en gros proportionnelle (ou toute autre loi assez modérée : polynomiale ou logarithmique) à l'écart initial et à la durée d'observation. La distance parcourue par une balle est dans ce cas : si un tape un peu plus fort, elle ira un peu plus loin, et l'écart est calculable sans difficulté.
- les systèmes complexes ou chaotique aboutisse à un résultat qui ne dépent pas tellement de l'écart initial, parce que la différence évolue de façon "gravement" non linéaire (exponentielle et contradictoire : un petit "+" peut se traduire par un gros "-"). Un exemple assez simple (completement déterministe et réversible) de système complexe est une pâte soumise à la transformation du boulanger : allonger la pâte, la replier, et recommencer ; en quelques itérations, deux points initialement très proches peuvent se retrouver très éloignés (et bien sur réciproquement).
Une des façon de mesurer le degré de complexité est de mesurer la durée nécessaire pour que la différence initiale soit multipliée par 10 est appelée temps caractéristique. Il permet de savoir à quel point un système est chaotique. Les phénomènes météorologiques ont un temps caractéristique très bref, de l'ordre de la journée, alors que la rotation d'une planète seule autour d'un soleil a un temps caractéristique de plusieurs centaines de millions d'années.
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Cela ne signifie toutefois pas que les systèmes chaotiques soient totalement imprévisibles. Pour les phénomènes météorologiques, malgré la complexité des facteurs permettant de prévoir mathématiquement leur évolution avec précision, on peut toutefois prédire qu'il fera en moyenne plus chaud et plus sec en été qu'en hiver, et qu'il fera plus chaud dans le Sahara qu'au Pôle Nord. Le système n'est donc pas totalement aléatoire. De la même manière, on peut observer, dans un espace à N dimensions, appelé espace des phases (inventé par Henri Poincaré), N étant le nombre de paramètres décrivant le système, que la courbe d'évolution du système reste toujours dans certaines limites maximales et minimales. Ce type de courbe a été appelé attracteur étrange par le physicien David Ruelle. Ces courbes sont souvent (pas toujours !) des fractales (Les images visibles dans cet article sont deux vues du même attracteur étrange).
On observe exactement la même chose dans des domaines très divers, par exemple la distribution des planètes (parfaitement calculable en moyenne alors que le système compte bien plus que trois corps). En fait, peu importe le domaine étudié, seul compte l'espace des phases caractéristique du phénomène, or de nombreux phénomènes très divers peuvent avoir un espace de phase comparable.
Exemple
Dessinez un cercle. Puis définissez un angle à l'intérieur. Répétez cet angle n fois. Si vous calculez ce que devrait être l'angle et que vous comparez à l'angle que vous avez dessiné, il doit y avoir une énorme différence. En effet, une petite erreur de position au début et celle-ci est à chaque fois amplifiée. Si vous choisissez un angle A, avec une erreur e. L'erreur est aussi multipliée par n. Au bout d'un certain nombre de répétitions, l'erreur totale, n*e est plus importante que l'angle n*A car l'angle n*A est équivalent à n*A modulo 2 pi.
Les équations chaotiques font donc « ressortir » les lointaines décimales des conditions de départ : la taille exacte de l'angle dans cet exemple. Une infime variation des conditions de départ peut tout changer à la fin, comme le battement d'aile d'un papillon.
Si ces conditions étaient parfaitement connues dès le départ, on saurait calculer la position future. Mais dans le monde réel, les instruments sont toujours limités.
Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à prédire le mouvement d'un mini-système solaire. Le but derrière cette recherche est de savoir si le système solaire est « stable » ou si un jour la terre risque de percuter une autre planète ou être éjectée du système solaire. Des calculs ont été faits en testant avec des points de départ légèrement différents des planètes actuelles pour tester les « marges ». Il a été montré que les marges sont faibles mais surtout que, hors de ses marges, le système solaire aurait été instable depuis longtemps.
Bibliographie
- Edward Lorenz. Deterministic non-periodic flow. Atmospheric Science, 20:130-141, 1963.
- James Gleick. La théorie du chaos., Albin Michel, 1989, Flammarion, 1991.
- Chaos et déterminisme., Points Sciences. Éditions du Seuil, 1992.