Théorème de d'Alembert-Gauss
Le théorème de d'Alembert-Gauss, encore appelé théorème fondamental de l'algèbre, s'énonce de la façon suivante :
- Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps
des nombres complexes a (au moins) une racine dans .
En d'autres termes, le corps des nombres complexes est algébriquement clos. On en déduit facilement qu'un polynôme de degré n > 0 se scinde en produit de n polynômes du premier degré : on dit qu'il a exactement n racines.
Ce théorème fut énoncé pour la première fois par Albert Girard. Jean le Rond d'Alembert en donna une démonstration presque complète, dans son Traité de dynamique. Carl Friedrich Gauss en donna la première démonstration rigoureuse au début du XIXe siècle.
La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse. La démonstration la plus usitée repose sur le théorème de Liouville en analyse complexe.
Voir aussi
Bibiographie
- Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer 1997, ISBN 0-387-94657-8