Théorème des gendarmes

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En analyse, le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement, s'énonce de la manière suivante :

Si f, g et h sont trois fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$f(x)\le g(x) \le h(x)$ et $\lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L$ (a fini ou non), alors on a aussi : $\lim_{x \to a}g(x) = L$

Démonstration

la démonstration est directement issue de la notion de voisinage de a et de la définition de la limite.

Pour tout intervalle ouvert U contenant L,

Puisque que $\lim_{x \to a}f(x) = L$ , il existe un voisinage V₁ de a tel que

pour tout x de V₁, $f(x) \in U$

Puisque que $\lim_{x \to a}h(x) = L$ , il existe un voisinage V₂ de a tel que

pour tout x de V₂, $h(x) \in U$

Enfin, d'après la propriété d'encadrement, il existe un voisinage V₃ de a tel que

pour tout x de V₃, $f(x) \le g(x) \le h(x)$

L'intersection de trois voisinages est un voisinage donc $V = V_1 \cap V_2 \cap V_3$ est un voisinage de a et pour tout x de V, on a

$f(x) \in U$
$h(x) \in U$
$f(x) \le g(x) \le h(x)$

d'où il vient que

$g(x) \in U$

ce qui prouve que $\lim_{x \to a}g(x) = L$

Exemple

Soit $f(x) = {sin(x)\over x}$ , $x > 0$ . On cherche la limite en l'infini de cette fonction.
On sait que : $-1 \le sin(x) \le 1$ . D'où, pour $x > 0$ : $-{1\over x} \le {sin(x)\over x} \le {1\over x}$

Or $\lim_{x \to \infty}-{1\over x} = \lim_{x \to \infty}{1\over x} = 0$
Donc, d'après le théorème d'encadrement : $\lim_{x \to \infty}f(x) = 0$

Variantes

Des variantes de ce théorème existe pour des fonctions dont la limite est infinie

Si f, g sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$f(x)\le g(x)$ et $\lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ (a fini ou non), alors on a aussi : $\lim_{x \to a}g(x) = + \infty$

Si f, g sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :

$f(x)\le g(x)$ et $\lim_{x \to a}g(x) = -\infty$ (a fini ou non), alors on a aussi : $\lim_{x \to a}f(x) = - \infty$

Enfin des théorèmes analogues existent pour des limites de suites

Si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N

$u_n\le v_n \le w_n$ et $\lim_{n \to +\infty}u_n = \lim_{n \to +\infty}w_n = L$ , alors on a aussi : $\lim_{n \to +\infty}v_n = L$

avec les variantes pour les limites infinies.

Les démonstrations de toutes ces variantes sont analogues à celle développée plus haut.

Théorème des gendarmes

Démonstration

Exemple

Variantes

See also: Théorème des gendarmes, Analyse (mathématiques), Limite de suite, Mathématiques, Voisinage