Théorème de Taniyama-Shimura
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lettre i
Le théorème de Taniyama-Shimura établit une connexion importante entre les courbes elliptiques, qui sont des objets de la géométrie algébrique, et les formes modulaires, qui sont certaines fonctions holomorphes périodiques étudiées en théorie des nombres. Malgré le nom, qui provient de la conjecture de Taniyama-Shimura, le théorème est le travail d'Andrew Wiles, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, et Richard Taylor.
Si p est un nombre premier et E, une courbe elliptique sur 
(le corps des nombres rationnels), nous pouvons réduire l'équation définissant E modulo p; pour toutes les valeurs, mais de manière finie, de p nous obtiendrons une courbe elliptique sur le corps fini 
, avec 
éléments. On peut alors considérer la progression
,
qui est un invariant important de la courbe elliptique E. Chaque forme modulaire donne aussi une progression de nombres, par une transformation de Fourier. Une courbe elliptique dont la progression est en accord avec cela à partir d'une forme modulaire est appelée modulaire. Le théorème de Taniyama-Shimura établit ceci :
- "Toutes les courbes elliptiques sur sont modulaires."
Ce théorème fut conjecturé en premier par Yutaka Taniyama en septembre 1955. Avec Goro Shimura, il en améliora la rigueur jusqu'en 1957. Taniyama mourut en 1958. Dans les années 60, il devint associé au programme de Langlands d'unification des conjectures en mathématiques, et en fut par conséquent un composant clef. La conjecture fut récupérée et promue par André Weil dans les années 70, et le nom de Weil fut associé avec ce théorème dans certains endroits. En dépit de l'intérêt, certains considéraient qu'il était indémontrable.
Il attira un intérêt considérable dans les années 80 lorsque Gerhard Frey suggéra que la conjecture de Taniyama-Shimura (telle quelle était appelée alors) impliquait le dernier théorème de Fermat. Il le fit en essayant de montrer que tout contre-exemple du dernier théorème de Fermat déboucherait sur une courbe elliptique non-modulaire. Ken Ribet démontra plus tard ce résultat. En 1995, Andrew Wiles et Richard Taylor démontrèrent un cas particulier du théorème de Taniyama-Shimura (le cas des courbes elliptiques semi-stables) qui fut suffisamment forte pour fournir une preuve du dernier théorème de Fermat.
Le théorème complet de Taniyama-Shimura fut finalement démontré en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond, et Taylor qui, en s'appuyant sur le travail de Wiles, remplirent par sauts de puce les cas restants jusqu'à la démonstration du résultat complet.
Plusieurs théorèmes de la théorie des nombres similaires au dernier théorème de Fermat découlent du théorème de Taniyama-Shimura. Par exemple : aucun cube ne peut être écrit comme une somme de deux nombres premiers entre eux puissance n, 
. (Le cas n = 3 était déjà connu d'Euler.)
En mars 1996, Wiles partagea le Prix Wolf avec Robert Langlands. Bien qu'aucun des deux ne fut à l'origine ou n'acheva la démonstration du théorème complet qui fut permise par leurs réalisations, ils furent reconnus comme ayant eu les influences décisives qui ont conduit à ce qu'il soit finalement démontré.
Références
- Henri Darmon : A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced, Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), No. 11. Contient une introduction agréable du théorème et les grandes lignes de la démonstration (en anglais).
- Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations, Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521–567. Contient la démonstration.