Théorème de Leibniz
Le théorème de Leibniz en géométrie se décrit comme suit :
Soit dans le plan deux points fixes A et B. Leibniz considère ainsi le lieu du point M tel que a ·(AM)2 + b·(BM)2 = cste. Soit G le barycentre de A(a) et B(b). Alors le lieu, s'il existe, est un cercle de centre G.
Démonstration :
On développe (AG + GM)2 et de même pour BM = BG +GM .
L'égalité se réduit à (a+b)(GM)2= cste qui doit être positive.
Remarque : si a + b = 0 , G est en quelque sorte rejeté à l'infini (un physicien considèrera que a + b = epsilon) : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.
Le théorème se généralise aisément à plusieurs points A, B, C.