Théorème de Lagrange

Le théorème de Lagrange est un théorème de la théorie des groupes, branche des mathématiques.

Dans tout cet article, $(G,*)\,$ est un groupe, noté multiplicativement, de neutre $e \,$ .

Enoncé

Soit $H$ un sous-groupe de $G$ .

Si $G$ est de cardinal fini, alors le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$ .

$\mbox{card}(H)| \mbox{card} (G)\,$

On peut également faire apparaître le facteur multiplicatif et écrire:

$\mbox{card}(G)= \mbox{card} (H)*[G:H]\,$

L'entier $[G : H]$ est appelé indice de $H$ dans $G$ . Cette notation est justifiée par la relation suivante : $[G : H] = card(G / H)$ où $G / H$ désigne le groupe quotient.

On note parfois $card(G)$ par $| G |$ ce qui donne:

$|G|=|H|*[G:H] \,$

Applications courantes

L'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.
L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise l'ordre du groupe.

Preuve

On définit une relation $R$ dans le groupe $G$ par :

$xRy \Leftrightarrow xy^{-1} \in H$

La démonstration du théorème s'établit alors de la façon suivante:

1) $R$ est une relation d'équivalence.

2) Cette relation définit donc une partition du groupe $G$ en classes d'équivalence, appelées classes à droite modulo $H$ .

3) Toutes les classes à droite modulo $H$ ont même cardinal, à savoir $card(H)$ .

Le point 2) est un résultat classique sur les relations d'équivalence.

Détaillons les points 1) et 3)

1) $\forall x \in G, xRx \,$ car :

$x x^{-1}=e \in H \,$

$\forall (x,y) \in G^2, xRy \Rightarrow yRx \,$ car :

$xy^{-1} \in H \Rightarrow (xy^{-1})^{-1}=yx^{-1} \in H \,$

$\forall (x,y,z) \in G^3, (xRy \mbox{ et } yRz) \Rightarrow xRz \,$ car :

$\left( xy^{-1} \in H \mbox{ et } yz^{-1} \in H \right) \Rightarrow xy^{-1}yz^{-1}=xz^{-1} \in H \,$

La relation $R$ est réflexive, symétrique, et transitive, donc elle définit une relation d'équivalence sur le groupe $G$ .

3) Pour toute classe à droite, on définit une bijection entre cette classe et $H$ .

Pour cela, fixons :

$x\in G$

l'application :

$H\rightarrow xH,\qquad h\mapsto xh$

est bijective car on peut en exhiber un inverse:

$xH\rightarrow H,\qquad u\mapsto x^{-1}u$

L'existence d'une bijection entre chaque classe d'équivalence montre que toutes les classes d'équivalence ont le même cardinal $c a r d (H)$ . Ce cardinal divise donc le cardinal total du groupe $G$ .

Théorème de Lagrange

Enoncé

Applications courantes

Preuve

See also: Théorème de Lagrange, Cardinal, Classe suivant un sous-groupe, Groupe (mathématiques), Groupe quotient, Mathématiques, Relation d'équivalence, Sous-groupe, Théorie des groupes, Théorème