Dernier théorème de Fermat

Le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, énonce qu'il n'y a pas de nombres entiers positifs non nuls x, y et z tels que

où n est un entier strictement supérieur à 2. (Pour les premières valeurs de n, il existe une infinité de solutions - le cas n = 1 est évident, le cas n = 2 admet notamment la solution classique 4² + 3² = 5² et fait appel à la méthode du cercle).

Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat qui écrivit en marge d'une traduction de l'Arithmetica de Diophante, à côté de l'énoncé de ce problème :

J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant plus de 300 ans (cette note laissait penser qu'une démonstration élémentaire était possible - ce qui a donc vivement émoustillé la curiosité des gens), il a finalement été démontré en 1994 par Andrew Wiles. La plupart des mathématiciens pensent aujourd'hui que Fermat s'était trompé : la preuve connue (raffinée depuis) fait appel à des outils très puissants de théorie des nombres.

Plus précisément, Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà qu'il impliquait le théorème. La preuve fait appel aux formes modulaires, à des représentations galoisiennes…

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le faire tomber, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire qu'il prend une telle valeur.

On peut comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation  xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

Remarques

• L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».

• Ce théorème est le sujet du livre « Le Dernier Théorème de Fermat » de Simon Singh, disponible au format poche sous le numéro ISBN : 2012789218

Pour le cas n = 2, toutes les solutions non triviales sont données par :

x = 2kml, y = k(m²-l²), alors z = k(m²+l²) où k entier, m>l, m et l de parités différentes.

See also: Dernier théorème de Fermat, Andrew Wiles, Diophante, Forme modulaire, Pierre de Fermat, Théorie des nombres, Théorème, Théorème de Taniyama-Shimura, Méthode du cercle