Théorème d'Al-Kashi

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Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

Le théorème d'Al-Kashi est un théorème de géométrie du triangle couramment utilisé en trigonométrie. Il généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles : il relie le troisième côté d'un triangle aux deux premiers ainsi qu'au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés.

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la Fig. 1 : d'une part α, β et γ pour les angles et, d'autre part, a, b et c pour les côtés respectivement opposés à ces angles. Alors, le théorème d'al-Kashi stipule que

$\,c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ .

Dans la plupart des autres langues, ce théorème est connu sous le nom de loi des cosinus, appellation toutefois relativement tardive. En français, cependant, il porte le nom du mathématicien perse Ghiyath al-Kashi qui unifia les résultats de ses prédécesseurs.

Sommaire

1 Histoire

2 Le théorème et ses applications

3 Démonstrations

3.1 Par un découpage d'aires
3.2 Par le théorème de Pythagore
3.3 Par la puissance d'un point par rapport à un cercle
3.4 Par le calcul vectoriel

4 Généralisation aux géométries non euclidiennes

4.1 Géométrie sphérique
4.2 Géométrie hyperbolique

5 Généralisation à l'espace euclidien

6 Voir également

7 Bibliographie

Histoire

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Fig. 2 - Triangle ABC avec hauteur BH

Les Éléments d'Euclide, datant du IIIe siècle av. J.-C., contenaient déjà une approche géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore : les propositions 12 et 13 du livre II, traitent séparément le cas d'un triangle obtusangle et celui d'un triangle à angle aigus. La formulation de l'époque est pédestre car l'absence de fonction trigonométrique et d'algèbre oblige à raisonner en termes de différences d'aires. Aussi la proposition 12 utilise-t-elle ces termes :

Dans les triangles obtusangles, le carré du côté qui soutient l'angle obtus est plus grand que les carrés des deux autres côtés, de la quantité de deux fois le rectangle formé d'un des côtés contenant l'angle obtus, à savoir celui sur le prolongement duquel tombe la hauteur, et de la ligne prise en-dehors entre [le pied de] la hauteur et l'angle obtus.

En notant ABC le triangle d'angle obtus A et H le pied de la hauteur issue de B (cf. Fig. 2 ci-contre), les notations modernes permettent de résumer l'énoncé ainsi :

AB² = CA² + CB² + 2 CA CH.

Il fallut attendre la trigonométrie arabo-musulmane au Moyen Âge pour voir le théorème évoluer dans sa forme et dans sa portée : l'astronome et mathématicien al-Battani généralisa le résultat d'Euclide à la géométrie sphérique au début du Xe siècle, ce qui permit d'effectuer des calculs de distance angulaire entre étoiles. C'est durant la même période que se sont établies les premières tables trigonométriques, pour les fonctions sinus et cosinus. Cela permit à Ghiyath al-Kashi, mathématicien de l'école de Scaramande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du XVe siècle. La propriété a été popularisée en occident par François Viète qui l'a, semble-t-il, redécouverte indépendamment.

C'est au début du XIXe siècle que les notations algébriques modernes permettent d'écrire le théorème sous sa forme actuelle et qu'il prend dans de nombreuses langues le nom de loi (ou théorème) des cosinus.

Le théorème et ses applications

Le théorème d'al-Kashi est également connu sous le nom de théorème de Pythagore généralisé, car le théorème de Pythagore en est en un cas particulier : lorsque l'angle $γ$ est droit, autrement dit lorsque $cosγ = 0$ , le théorème d'Al-Kashi s'écrit

$\,c^2=a^2+b^2$ ,

et réciproquement.

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Fig. 3 - Utilisation du théorème d'Al-Kashi : angle ou côté inconnu.

Le théorème s'utilise en triangulation (voir Fig. 3) pour résoudre un triangle, à savoir déterminer

le troisième côté d'un triangle dont on connaît un angle et les côtés adjacents :

$\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$ ;

les angles d'un triangle dont on connaît les trois côtés :

$\,\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ .

Il est à noter que ces formules sont instables numériquement dans le cas de triangles en épingle, c'est-à-dire lorsque c est petit devant a et b — ou, de façon équivalente, lorsque γ est petit devant 1.

Il existe un corollaire du théorème d'al-Kashi : pour deux triangles directement semblables ABC et A'B'C'

$\,cc\prime = aa\prime + bb\prime - (ab\prime+a\prime b)\cos\gamma$ .

Démonstrations

Par un découpage d'aires

Un certain nombre des démonstrations du théorème font intervenir un calcul d'aires. Il convient en effet de remarquer que

$a 2$ , $b 2$ et $c 2$ sont les aires de carrés de côtés respectifs $a$ , $b$ et $c$ ;
$a b | cosγ |$ est celle d'un parallélogramme de côtés $a$ et $b$ formant un angle $π / 2 - γ$ , le changement de signe de $cosγ$ lorsque l'angle $γ$ devient obtus rendant une étude par cas obligatoire.

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Fig. 4a - Démonstration du théorème d'Al-Kashi pour les triangles à angles aigus : « méthode du découpage ».

La figure 4a (ci-contre) découpe un heptagone de deux manières différentes de sorte à démontrer le théorème d'al-Kashi dans le cas d'un angle aigu. Interviennent :

en rose, les aires $a 2$ , $b 2$ à gauche, et les aires $2 a b cosγ$ et $c 2$ à droite ;
en bleu, le triangle ABC, à droite comme à gauche ;
en gris, quelques triangles supplémentaires, identiques au triangle ABC et en même nombre dans les deux découpages.

L'égalité des aires de droite et de gauche donne

$\,a^2+b^2 = c^2+2ab \cos\gamma$ .

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Fig. 4b - Démonstration du théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un angle obtus : « méthode du découpage »

La figure 4b (ci-contre) découpe un hexagone de deux manières différentes de sorte à faire démontrer le théorème d'al-Kashi dans le cas d'un angle obtus. La figure montre

en rose, les aires $a 2$ , $b 2$ et $- 2 a b cosγ$ à gauche, et l'aires $c 2$ à droite ;
en bleu, deux fois le triangle ABC, à droite comme à gauche.

L'égalité des aires à droite et à gauche donne

$\,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2$ .

Une démonstration rigoureuse nécessiterait de prouver que les deux découpages sont effectivement identiques, ce qui utilise principalement les cas d'égalité des triangles.

Par le théorème de Pythagore

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Fig. 5 - Démonstration du théorème d'Al-Kashi en utilisant les relations trigonométriques

La figure 5 (ci-contre) indique la manière de procéder pour démontrer le théorème d'Al-Kashi dans le cas d'un triangle à angles aigus en utilisant le théorème de Pythagore sur un sous-triangle rectangle formé en prenant le pied de la hauteur. Seule la dernière étape n'est pas indiquée sur la figure : le théorème de Pythagore s'applique au triangle rectangle dont le côté c est l'(hypoténuse) :

$\,c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b-a\cos\gamma)^2$ ,

ce qui donne le résultat escompté après simplification.

La méthode est en tous points similaires pour les angles obtus.

Par la puissance d'un point par rapport à un cercle

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Fig. 6 - Démonstration du théorème d'al-Kashi en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle.

On considère le cercle de centre B et de rayon [BC] (cf. figure ci-contre). Il coupe la droite (AC) en C et K. La puissance du point A par rapport audit cercle est

$\mathrm{AB}^2 - \mathrm{BC}^2\,$	$=\overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{AK}}$
	$=\overline{\mathrm{AC}}\cdot(\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CK}})$
$c^2-a^2\,$	$= b\,(b-2a\cos\gamma)$ .

Contrairement aux précédentes, cette démonstration n'a pas besoin de recourir à une étude par cas. En effet, les mesures algébriques permettent de traiter pareillement un angle aigu ( $\overline{\mathrm{CK}} < 0$ ) et un angle obtus ( $\overline{\mathrm{CK}} > 0$ ).

Par le calcul vectoriel

En utilisant le calcul vectoriels, plus précisément le produit scalaire, il est possible de retrouver le théorème d'Al-Kashi en quelques lignes :

$a^2\,$	$=\overrightarrow{\mathrm{BC}}^2$
	$= (\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})^2$
	$=\overrightarrow{\mathrm{AC}}^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}^2$
	$=\mathrm{AC}^2-2\cdot\left\|\mathrm{AC}\right\|\cdot\left\|\mathrm{AB}\right\|\cos\widehat{\mathrm{BAC}}+\mathrm{AB}^2$
	$=b^2+c^2-2bc \cos\gamma\,$

Généralisation aux géométries non euclidiennes

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Fig. 7 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note R le rayon de courbure. Il vérifie

$\,R = 1/\sqrt{|K|}$ .

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

$\,a = BC/R$ ,

$\,b = AC/R$ ,

$\,c = AB/R$ .

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 7).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC (Fig. 7), le théorème d'al-Kashi s'écrit

$\cos c = \cos a \, \cos b + \sin a \, \sin b \, \cos\gamma$ .

Lorsque le rayon de courbure est très grand devant les dimensions du triangle, c’est-à-dire lorsque

$\,a <\!\!< 1$ , etc.

cette expression se simplifie pour donner la version euclidienne du théorème d'al-Kashi. Pour ce faire, on utilise les développements limités suivants :

$\,\sin a = a + O(a^3)$ , etc.,

$\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3)$ , etc.

Il existe une identité similaire qui relie les trois angles :

$\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c$

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique ABC, le théorème d'al-Kashi s'écrit

$\cosh c = \cosh a\,\cosh b + \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma$ .

Lorsque le rayon de courbure devient très grand devant très grand devant les dimensions du triangle, on retrouve le théorème d'al-Kashi euclidien à partir des développements limitiés

$\,\sinh a = a + O(a^3)$ , etc.,

$\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3)$ , etc.

Généralisation à l'espace euclidien

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Fig. 8 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.

On considère un tétraèdre A₁A₂A₃A₄ de l'espace euclidien. La figure 8 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

$\,\mathrm S_k$ la face opposée opposée au sommet $\mathrm A_k\$ ;
$\,s_k$ la surface de $\mathrm S_k\$ ;
$\,\Delta_k$ le plan dans lequel $\mathrm S_k\$ est plongée ;
$\,\theta_{ij}$ l'angle diédral $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$ .

Alors, surfaces et angles vérifient

$\,s_4^2 =$	$s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12}\,$
	$- 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}\,$ .

Voir également

Bibliographie

Les éléments, tome II, Euclide, sur la Bibliothèque nationale française en ligne.
Law of cosines, sur le site Math World (en anglais)
Géométrie Supérieure, N. Éfimov, Moscou, Editions MIR, 1981
Petite Encyclopédie des Mathématiques, Paris, Editions K. Pagoulatos, 1980

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