Tenseur des contraintes

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Le tenseur des contraintes est une représentation utilisée en mécanique des milieux continus pour représenter l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts, les forces, mises en jeu au sein d'une pièce déformée.

Le tenseur est défini localement, c'est-à-dire en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ de tenseur. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.

Le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée.

Sommaire

1 Construction du tenseur

2 Symétrie du tenseur des contraintes

3 Pression isostatique

4 Principe de la coupure

5 Calcul des vecteurs-contrainte

Construction du tenseur

Prenons une base $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arrête infinitésimale dx = a, et dont les arrêtes sont parallèles aux axes du repère.

Numérotons ses faces :

les faces i et -i sont les faces normales à $\vec{e_i}$ , en partant du centre du cube, $\vec{e_i}$ pointe vers i, la face -i étant la face opposée.

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Numerotation_faces_cube.png
Image:Numerotation faces cube.png

Dans un premier temps, nous ne considérons que les faces numérotées positivement.

Sur la face j s'exerce un vecteur-force $\vec{F_j}$ qui a trois composantes :

$\vec{F_j} = \begin{pmatrix} F_{1j} \\ F_{2j} \\ F_{3j} \end{pmatrix}$

F_ij étant la composante selon $\vec{e_i}$ du vecteur-force s'exerçant sur la face j. La surface de chaque facette étant a², on peut définir neuf composantes σ_ij homogènes à des contraintes :

$\sigma_{ij} = \frac{F_{ij}}{a^2}$

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On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur

$T(M) = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix}$

T est un tenseur d'ordre 2, à 3 lignes et 3 colonnes. Il est défini localement pour un point M donné.

Symétrie du tenseur des contraintes

Lorsque le solide est à l'équilibre (les contraintes et déformations restent constantes dans le temps) et si l'on peut négliger les forces volumiques (en particulier le poids), alors le tenseur des contraintes est symétrique, c'est-à-dire que :

σ i j = σ j i

ceci se déduit de la deuxième loi de Newton.

Le tenseur s'écrit donc :

$T_{ij} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix}$

Pression isostatique

La pression isostatique P est définie comme le tiers de la trace de la matrice, c'est-à-dire comme la moyenne des termes diagonaux :

$P = \frac{tr(T)}{3} = \frac{\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}}{3}$

Principe de la coupure

Une manière simple de déterminer le tenseur des contraintes consiste à employer le « principe de la coupure ». Il s'agit d'une opération de pensée dans laquelle on scie l'objet selon un plan donné.

Supposons un solide se déformant sous l'effet de deux forces extérieures opposées. Si l'on coupe le solide en deux et que l'on sépare les moitiés, alors chaque moitié n'est soumise qu'a une seule force et donc n'est plus déformée mais mise en mouvement. Pour que chaque moitié retrouve sa déformation, il faut exercer une pression sur chacune des faces de la coupure.

Lorsqu'il y a des symétries évidentes à un problème, le choix de plans de coupe judicieux permet de déterminer de manière simple le tenseur des contraintes. C'est ainsi que l'on peut déterminer que dans le cas de la torsion d'un tube, on a un cisaillement pur.

Calcul des vecteurs-contrainte

Considérons le petit élément de volume $d τ$ délimité par le tétraèdre de sommets $M,(d x 1,0,0),(0, d x 2,0),(0,0, d x 3)$ . Les vecteurs normaux aux faces sont donc $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3,\vec n$ . La force $\vec{F}$ s'exerçant sur une face vérifie

$\vec F = T \cdot \vec n$

où $\vec n$ le vecteur caractéristique de la face, c'est-à-dire le vecteur normal ayant pour norme l'aire de la face.

On a par exemple sur la face $[M,(d x 1,0,0),(0, d x 2,0)]$ , la relation

$\vec F = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ (dx_1 \cdot dx_2)/2\\\end{pmatrix}$