Tenseur

Les tenseurs généralisent les notions de vecteur et de matrice (ou, plus abstraitement, d'application linéaire). Ils ont été introduits par nécessité, en physique, pour représenter l'état de contrainte et de déformation d'un objet solide soumis à des forces, d'où leur nom (tensions). Cette notion est beaucoup utilisée en relativité générale.

Il y a essentiellement deux approches de la notion de tenseurs. L'une, pragmatique, des physiciens et des ingénieurs, présente un tenseur comme un ensemble de nombres (une sorte de super-matrice) qui se transforme d'une certaine façon selon les changements linéaires de coordonnées. L'autre, plus abstraite, des mathématiciens qui définissent les tenseurs de façon absolue, c'est-à-dire indépendante du choix d'un système de coordonnées, comme éléments du produit tensoriel ou du produit alternatif d'espaces linéaires ; les nombres utilisés par les physiciens ne sont que les coordonnées de ces éléments-tenseurs.

Sommaire

1 Approche vulgarisée (par les coordonnées)

1.1 Notion de tenseur
1.2 Changements de base

1.2.1 Vecteurs d'un espace à 3 dimensions
1.2.2 Matrices et applications linéaires

1.3 Composantes covariantes et contravariantes

1.3.1 Formes linéaires et changement de base
1.3.2 Convention d'Einstein

2 Voir aussi

3 lien extérieur

Approche vulgarisée (par les coordonnées)

Notion de tenseur

Lorsque l'on dispose d'une base d'un espace vectoriel, tout vecteur de cet espace peut se décrire par ses coordonnées dans cette base. De même, une application linéaire entre deux espaces vectoriels, lorsque l'on a une base de chacun de ces espaces, peut se décrire par une matrice.

Ainsi, dans une base $(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3})$ donnée, le vecteur $\vec{u}$ sera décrit par ses composantes (u₁, u₂, u₃). Si l'on change de base, les composantes (les nombres u₁, u₂ et u₃) changent, mais le vecteur $\vec{u}$ reste le même. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de $\vec{u}$ dans toutes les bases. Un vecteur est un tenseur dit « d'ordre 1 ».

Une application linéaire f d'un espace E vers un espace F est décrite par une matrice M dont les coefficients dépendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur représente l'ensemble des représentations de f dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit « d'ordre 2 ».

Un scalaire est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. On dit que le scalaire est un « tenseur d'ordre 0 ».

Une autre manière de voir est la suivante : une matrice M peut se noter par ses coefficients (M_ij) — soit deux indices —, un vecteur $\vec{u}$ par ses composantes (u_i) — soit un indice —, et un scalaire a simplement par lui-même — soit zéro indice. On peut envisager des objets définis avec trois, quatre, n indices (A_ijk...). Un objet défini par n indices est un tenseur d'ordre n.

Changements de base

Vecteurs d'un espace à 3 dimensions

Dans la base $B (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ , les composantes du vecteur $\vec{u}$ sont $(u 1, u 2, u 3)$ . Dans la base $B' (\vec{e'}_1,\vec{e'}_2,\vec{e'}_3)$ , elles sont $(u' 1, u' 2, u' 3)$ . On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.

Dans la base $B'$ , les vecteurs de la base $B$ s'écrivent :

$\vec{e}_{i} = e_{i1}\cdot \vec{e'}_{1} + e_{i2}\cdot \vec{e'}_{2} + e_{i3}\cdot \vec{e'}_{3}$ .

On peut ainsi définir la matrice de changement de base $P$ de $B$ vers $B'$ :

$P = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{21} & e_{31} \\ e_{12} & e_{22} & e_{32} \\ e_{13} & e_{23} & e_{33} \end{pmatrix}$

les colonnes de la matrice de changement de base sont les coordonnées des vecteurs de l'ancienne base dans la nouvelle. On a alors

$(u_{1},u_{2},u_{3}) = P \cdot (u'_{1},u'_{2},u'_{3})$ et

$(u'_{1},u'_{2},u'_{3}) = P^{-1} \cdot (u_{1},u_{2},u_{3})$ .

Lorsque les deux bases $B$ et $B'$ sont orthonormées $P$ vérifie en outre $P - 1 = t P$ .

Le changement de base se fait par multiplication d'une seule matrice de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 1.

Matrices et applications linéaires

Une matrice M représente une application linéaire f d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. On peut donc définir deux matrices, P₁ et P₂ pour chacun des espaces. La matrice M' représentant f pour les deux nouvelles bases se calcule donc en faisant

$M' = ^{\rm t}P_{1} \cdot M \cdot P_{2}$

Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base, le tenseur est dit d'ordre 2.

Composantes covariantes et contravariantes

Formes linéaires et changement de base

Considérons un espace à trois dimensions muni d'une base non orthogonale (on va la supposer normée pour simplifier la présentation). En effet, il y a de nombreux exemples dans la nature où il y a des axes « naturels » qui ne sont pas orthogonaux, par exemples les axes de certains cristaux. En fait, lorsqu'un phénomène est anisotrope, on peut souvent trouver des axes dits « principaux » pour lesquels les calculs se simplifient, et ces axes ne sont pas toujours orthogonaux.

Considérons une forme linéaire f sur cet espace, qui à un vecteur $\vec{u}$ associe un scalaire

$f(\vec{u}) = f^{1}\cdot u_{1} + f^{2}\cdot u_{2} + f^{3}\cdot u_{3}$

(les indices relatifs à la forme linéaire sont notés en haut pour permettre de les distinguer). Considérons la base $(\vec{e}^{\ *i})$ , dite « base duale », définie par

$\vec{e}^{\ *1} = \vec{e}_{2}\wedge \vec{e}_{3}$

$\vec{e}^{\ *2} = \vec{e}_{3}\wedge \vec{e}_{1}$

$\vec{e}^{\ *3} = \vec{e}_{1}\wedge \vec{e}_{2}$

on a alors

$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = \delta_{i}^j$ (symbole de Kronecker)

soit

$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *j} = 0$ si $i \neq j$

$\vec{e}_{i} \cdot \vec{e}^{\ *i} = 1$

Si l'on définit le vecteur

$\vec{f} = f^{1} \cdot \vec{e}^{\ *1} + f^{2} \cdot \vec{e}^{\ *2} + f^{3} \cdot \vec{e}^{\ *3}$

on peut alors écrire

$f(\vec{u}) = \vec{f} \cdot \vec{u}$

La base des fonctions « produit scalaire par $\vec{e}^{\ *i}$ » est une base des formes linéaires de l'espace ; on identifie souvent cette base de fonctions avec la base de vecteurs $(\vec{e}^{\ *i})$ elle-même. L'espace vectoriel formé par les formes linéaires est appelé « espace dual » ou « espace réciproque ».

Si l'on fait un changement de base de l'espace direct, alors les composantes du vecteur $\vec{u}$ se transforment selon

$u_{i} = \sum_{j} p^{j}_{i}\cdot u_{j}$

où p^j_i est le coefficient de la matrice de changement de base (noté e_ji dans le paragraphe précédent). En revanche, les composantes de $\vec{f}$ se transforment selon

$f^{i} = \sum_{j} p^{i}_{j}\cdot f^{j}$

on voit que dans un cas on multiplie par la matrice de changement de base, alors que dans l'autre cas on multiplie par sa transposée.

On voit donc que l'on a deux types de composantes. D'une part des composantes de type « vecteur », notées avec un indice en bas (par exemple u_i), obtenues par projection du vecteur sur les axes parallèlement aux autres axes, et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la transposée de la matrice de changement de base (P). Ces composantes sont dites covariantes.

D'autre part des composantes de type « forme linéaire », notées avec un indice en haut (par exemple f ⁱ), obtenues par projection sur les axes perpendiculairement aux axes ( $\vec{e}^{\ *2}$ et $\vec{e}^{\ *3}$ sont perpendiculaires à $\vec{e}_{1}$ ), et se transformant lors d'un changement de base par le produit de la matrice « directe » de changement de base (P). Ces composantes sont dites contravariantes.

D'après la formule de changement de base des matrices, on voit que celles-ci sont une fois covariantes, une fois contravariantes, on devrait donc noter M_i^j. Toutefois, on n'utilise que rarement cette notation tensorielle pour les matrices.

Convention d'Einstein

Un tenseur peut avoir des composantes covariantes et contravariantes, ce qui explique que certains indices soient notés en haut et d'autres en bas, par exemple T_l^mn.

On adopte souvent la convention de notation d'Einstein qui consiste à sommer lorsqu'un indice se trouve en haut et en bas dans un produit, par exemple