Symétrie (transformation géométrique)
Une symétrie géométrique est un cas particulier de transformation géométrique et un cas particulier de symétrie. Il existe plusieurs sortes de symétries dans le plan ou dans l’espace. Malgré leurs différences apparentes, elles ont toutes la propriété d’être involutives (les appliquer deux fois, c’est revenir à la situation de départ.
| Sommaire |
Symétrie dans le plan
Symétrie par rapport à un point
Présentation
La symétrie de centre O est la transformation qui , à tout point M, associe le point M' tel que O soit le milieu de [MM'].
Image manquante
Symcentre.png
Image:symcentre.png
Construction : Tracez la droite (d) passant par A et O. Prolongez la au-delà de O. Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA, recoupez (d) en A'.
Le seul point invariant de cette symétrie est le point O.
Une symétrie de centre O est aussi une rotation d’angle plat et une homothétie de centre O et de rapport -1
Centre de symétrie
Une figure possède un centre de symétrie C si elle est invariante par la symétrie de centre C.
Exemples de centre de symétrie :
- Les lettres N, S et Z possèdent un centre de symétrie. D’autres lettres possèdent un centre de symétrie car elles possèdent deux axes de symétrie, on les découvrira dans le chapitre des symétrie orthogonale dans un plan.
- Un parallélogramme possède pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales. Cette propriété est caractéristique des parallélogrammes : un quadrialtère ABCD possédant cette propriété est nécessaire un parallélogramme.
Image manquante
Parallelogramme.png
Image:parallelogramme.png
- L’hexagone est un polygone qui admet l’intersection de ses diagonales comme centre de symétrie.
- Le cercle admet son centre comme centre de symétrie.
- En analyse, une courbe d’équation y = f(x) possède un centre de symétrie C(a ; b) si et seulement si, pour tout réel h tel que a + h appartienne au domaine de définition de f, on a
- a - h appartient au domaine de définition
- f(a + h) + f(a - h) = 2b
- Lorsque le centre de symétrie est à l’origine du repère, la fonction est dite impaire.
Groupe des symétries centrales-translations
La composée de deux symétries de centres O et O', sO' o sO est une translation de vecteur 
Image manquante
Symcentrecomp.png
Image:symcentrecomp.png
Le théorème des milieux permet de remarquer que 
Cette propriété permet de définir un premier groupe de transformations du plan : celui des symétries centrales-translations. En effet, en composant deux symétries centrales ou translations, on obtient une symétrie centrale ou une translation. Et, pour obtenir l’application identique, il suffit de composer un translation de vecteur u par la translation de vecteur -u, ou de composer une symétrie centrale par elle-même.
La symétrie centrale conserve les distances et les angles orientés. C’est donc une isométrie positive ou déplacement. Le groupe défini précédemment est donc un sous-groupe du groupe des déplacements.
Symétrie orthogonale par rapport à une droite
Présentation
On les appelle aussi des réflexions d’axe (d). La réflexion d’axe (d) est la transformation du plan qui laisse tous les points de (d) invariants et qui, à tout point M non situé sur (d), associe le point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM']. Comme il existe deux définitions équivalentes de la médiatrice, on connait ainsi deux constructions équivalentes du point M'.
Construction
Données : l'axe de symétrie (d), le point A.
Objectif : construire A' symétrique de A par la symétrie orthogonale d'axe (d).
- Première méthode :
- Tracez une droite perpendiculaire à (d) passant par A. Cette droite coupe l'axe en un point H.
- Avec le compas pointé en H et écarté jusqu'à A, recouper la droite (AH) en A'
- Deuxième méthode :
- Le point B étant connu, l'axe (d) doit être la médiatrice de [AB'].
- Pour construire le point B' nous allons utiliser la propriété suivante :Tout point d'une médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
- Nous choisissons deux points quelconques c1 et c2 de (d) et nous allons déterminer un point B' tel que c1B=c1B' et c2B=c2B'.
- Ainsi nous sommes certains que (c1c2), c’est-à-dire d, est la médiatrice de [BB'].
- Choisissez c1 et c2 sur (d).
- Placez la pointe sèche du compas sur c1 et écartez l'autre branche jusqu'à B. Tracez un arc.
- Exécutez la même chose avec la pointe sèche en c2.
- Les deux arcs se coupent en B et en B'.
Image manquante
Symaxe.png
Image:symaxe.png
Axe de symétrie
Une figure possède un axe de symétrie (d) si et seulement si elle est invariante par la réflexion d’axe (d)
Exemples de figures usuelles :
- Les lettres A, B, C, D, E , K , M, T, U, V, W possèdent un axe de symétrie
- Le cercle possède une infinités d’axes de symétrie : tous ses diamètres.
- Un angle quelconque a toujours un axe de symétrie : sa bissectrice.
- Le triangle isocèle possède un axe de symétrie : sa bissectrice principale.
- Le triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie : ses 3 bissectrices.
- Le losange en possède 2 : ses 2 diagonales.
- Le rectangle en possède 2 : ses 2 médianes.
- Le carré en possède 4 : ses 2 diagonales (puisque c’est aussi un losange) et ses 2 médianes (puisque c’est aussi un rectangle).
- En analyse, une courbe d’équation y = f(x) possède un axe de symétrie d’équation x = a si et seulement si , pour tout réel h tel que a + h appartient au domaine de définition, on a :
- a - h appartient au domaine de définition
- f(a + h) = f(a - h)
- Lorsque l’axe de symétrie est l’axe (Oy), la fonction est dite paire
Une figure possédant deux axes de symétrie perpendiculaires a pour centre de symétrie le point d’intersection des deux droites. Par exemple, les lettres H, I, O, X possèdent deux axes de symétrie perpendiculaires donc un centre de symétrie, de même le rectangle, le losange et le carré.
Réflexion et groupe des isométries
La réflexion conserve les distances et les angles. C’est donc une isométrie. Mais elle ne conserve pas l’orientation. On dit que c’est un antidéplacement.
La composée de deux réflexions d’axes parallèles est une translation.
Image manquante
Symaxecomp1.png
Image:symaxecomp1.png
Les propriétés vectorielles des milieux permettent de dire que
La composée de deux réflexions d’axes sécant est une rotation.
Image manquante
Symaxecomp2.png
Image:symaxecomp2.png
Les propriétés sur les bissectrices permettent de dire que
On remarque alors que l’ensemble des réflexions génèrent tout l’ensemble des isométries planes
Symétrie oblique
La symétrie par rapport à une droite (d) suivant une direction (d') (non parallèle à (d)) est la transformation qui laisse tous les points de (d) invariants et qui, à tout point M non situé sur (d) associe le point M' tel que la droite (MM') soit parallèle à (d') et le milieu de [MM'] soit sur (d)
Image manquante
Symoblique.png
Image:symoblique.png
Cette symétrie est bien involutive : le symétrique de M’ est bien M. Elle offre moins d’intérêt que ses cousines car elle ne conserve pas les distances: elle déforme les figures. Cependant, elle conserve les barycentres et fait donc partie des transformations affines.
Symétrie dans l’espace
Symétrie centrale
Symcentraleespace2.png
On retrouve la même définition et les même propriétés que pour la symétrie centrale dans le plan. À ceci près qu’un symétrie centrale ne conserve pas l’orientation dans l’espace
Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main gauche.
Symétrie orthogonale par rapport à une droite
Symaxeespace.png
On retrouve la même définition que dans le plan. Une symétrie orthogonale par rapport à une droite est aussi une rotation d’axe (d) et d’angle plat.
Contrairement à ce qui se passe dans le plan, une telle symétrie dans l’espace conserve l’orientation.
Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main droite.
Symétrie orthogonale par rapport à un plan
Symplan.png
La symétrie orthogonale par rapport au plan (P) est la transformation qui laisse tous les points de (P) invariants et qui, à tout point M non situé sur (P), associe le point M’ tel que (P) soit le plan médiateur de [MM']
Une telle symétrie conserve les distances et les angles mais ne conserve pas l'orientation. C'est la raison pour laquelle, quand vous levez la main droite devant votre miroir, votre image lève sa main gauche.
On démontre que l'ensemble des symétries par rapport à des plans génère par composition tout l'ensemble des isométries de l'espace
Les symétries obliques
On peut tout aussi bien définir des symétries par rapport à (d) selon la direction (P) ou des symétries d'axe (P) suivant la direction (d)
Mais ces transformations ne sont pas des isométries si (d) et (P) ne sont pas orthogonaux. Ces transformations conservent cependant les barycentres et sont des cas particuliers de transformations affines de l'espace.