Suite (mathématiques)

Le présent article concerne la suite en tant que concept mathématique. Voir l'article Suite pour les autres sens.

En mathématiques, une suite d'un ensemble $E$ est une famille d'éléments de $E$ indexée par l'ensemble des entiers naturels $\mathbb N$ ou par une partie $A$ de $\mathbb N$ . Autrement dit une suite est une application de $\mathbb N$ vers $E$ ou de $A$ vers $E$ . On note classiquement une suite $(u n)$ , ou $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ .

De manière vulgarisée, on pourrait dire qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun ayant un numéro d'ordre.

Cas particuliers :

si $E = \mathbb R$ , alors la suite est dite réelle,
si $E = \mathbb C$ , alors la suite est dite complexe,
si $A$ est une partie finie, alors la suite est dite finie.
si $(u n)$ est une suite, si $\exists N \in \mathbb N \quad \forall n \geq N \quad u_n = 0$ on dit que $(u n)$ est une suite presque nulle, ou nulle à partir d'un certain rang.

Notations

Soit $A$ une partie de $\mathbb N$ . Soit $u \in E^A$ une suite d'éléments de $E$ . Nous notons $u n$ , l'image $u (n)$ de l'entier $n$ par $u$ .

Ainsi, les images de $0, 1, 2, \dots, n$ sont notées $u_0, u_1, u_2, \dots, u_n$ .

On dit que $u n$ est le terme de rang $n$ , ou d'indice $n$ de la suite $u$ .

Nous notons en général la suite $u$ : $(u_n)_{n \in A}$ qui est donc une application.

Lorsque $A = \mathbb N$ , nous notons plus simplement la suite : $(u_n) \,$ .

Lorsque $A = \mathbb N_n = [1, n] = \{1, 2, \dots, n\}$ , nous pouvons noter la suite $(u_k)_{1 \le k \le n}$ ou encore $(u_1, u_2, \dots, u_n)$ .

L'ensemble des suites d'éléments de $E$ , indexées par une partie $A$ de $\mathbb N$ se note $\mathcal F\left(A, E\right)$ ou $E A$ .

Remarque

Nous ne devons pas confondre la suite $u = (u_n)_{n \in \mathbb N}$ avec l'ensemble des valeurs de la suite $\{u_n / n \in \mathbb N \}$ qui est l'image directe de $\mathbb N$ par $u$ . Par exemple, considérons la suite $\left((-1)^n\right)$ , l'ensemble des valeurs de la suite est ${ - 1,1}$ .

Exemples

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :

$\left(0, 0, 0, 0, \dots \right)$

Pour des raisons de commodité, pour tout élément $k$ de $E$ on identifie $k$ et la suite :

$\left(k, k, k, \dots \right)$

Posons $\forall n \in \mathbb N, u_n={1 \over {n+1}}$ ; $u = (u_n)_{n \in \mathbb N}$ est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par:

$\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \cdots \right)$

Terme général et récurrence

Une suite étant une application de A (partie de $\mathbb N$ ) dans E , il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si $u n$ est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de $u n$ .

Cependant, si $A = \{n \in N, n \geq n_0\}$ , la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. Il suffit alors de donner $u_{n_0}$ pour en déduire tous les termes. En pratique, la détermination de $u_n\,$ va nécessiter le calcul de tous les termes de $u_{n_0}$ à $u_{n-1}\,$ , soit une opération bien longue. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple : la suite définie par $u 0$ = 1 et, pour tout entier n, $u n + 1 = (n + 1) u n$ est la suite des factorielles : $u n = n!$

Somme des termes d'une suite

Si $E$ est un groupe additif, on note :

$\sum_{n = p}^{n=q}u_n$

$\sum_{p \le n \le q}u_n$

la somme :

$u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q$ .

Voir aussi : Série (mathématiques).

Exemples de suites

Suite arithmétique

Voir article détaillé : Suite arithmétique

C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par

$\begin{cases} u_{n_0} = a\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n + r \end{cases}$

son terme général est alors

$u_n = a + (n - n_0)r\,$

Suite géométrique

Voir article détaillé : Suite géométrique

C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par

$\begin{cases} u_{n_0} = a\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = qu_n \end{cases}$

son terme général est alors

$u_n = a q^{n - n_0}\,$

Suites arithmético-géométriques

Voir article détaillé : Suite arithmético-géométrique

C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par

$\begin{cases} u_{n_0} = U\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = au_n + b \end{cases}$

Si a = 1, la suite est arithmétique
Si $a\neq 1$ son terme général est alors

$u_n = \frac{b}{1-a} + q^{n - n_0}\left(U - \frac{b}{1-a}\right)$

Suites récurrentes linéaires à coefficients constants

Voir article détaillé : suite récurrente linéaire

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

$u_{n+p} = a_0u_n + a_1u_{n+1} + \cdots+ a_{p-1}u_{n+p-1}$

où $a 0$ , $a 1$ , … $a p - 1$ sont p scalaires ( $a 0$ non nul). L’entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Sont entièrement connues les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 (suite géométrique) et 2 (voir suite récurrente linéaire). Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel.

Quelques suites célèbres

Il est assez surprenant que ce soit dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres :

la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connait le terme général et sa relation avec le nombre d'or
la suite de Conway, piège de test de QI, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent
La suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de un si celui-ci est impair. Cette suite reste encore une énigme pour les mathématiciens.

Limite de suite

Voir article détaillé: Limite de suite

Suite convergente

La notion de limite d'une suite est classique en topologie et les cas de convergence dans $\R$ ou $\mathbb C$ est un cas particulier de cette définition.; . « Moralement », l'idée est qu'une suite a une certaine limite lorsque ses points se rapprochent de la valeur limite lorsque l'indice devient grand.

Définition générale :

Soit $E$ un espace muni d'une topologie $\mathcal O$ . On note $\mathcal O(u)$ l'ensemble des ouverts contenant $u$ .
On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in E^{\mathbb N}$ est une suite convergente vers $u^*\in E$ si

$\forall O\in\mathcal O(u^*)$ , $\exist N\in \mathbb N$ tel que $\forall n > N$ , $u_n \in O$ .

Cette définition se traduit plus simplement pour des suites convergente dans $\R$ ou $\mathbb C$

Suite réelle convergente

On dira que la suite $u$ est convergente vers $u *$ lorsque pour tout $\eta\in\mathbb R_+^*$ , il existe $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ , $n > N$ :

$|u_n-u^*|\le\eta$

On dit alors que $u$ tend vers $u *$ , et on le note :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=u^*$

Suite complexe convergente

La même définition s'applique en écrivant, à la place d'une valeur absolue, un module.

Limites infinies

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies $+ \infty$ et $-\infty$ avec les définitions suivantes

Définition 1 :

On dira que la suite $u$ est divergente vers $+\infty$ lorsque pour tout $M\in\mathbb R_+^*$ , il existe $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ , $n > N$ :

u n > M

On dit alors que $u$ tend vers $+\infty$ , et on le note :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$

Définition 2 :

On dira que la suite $u$ est divergente vers $-\infty$ si, pour tout $M\in\mathbb R_+^*$ , il existe $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ , $n > N$ :

u n < - M

On dit alors que $u$ tend vers $-\infty$ , et on le note :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty$

Propriétés

Les propriétés sur les limites

Unicité
Opération
Complétude

vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article Limite de suite

Suites réelles et relation d'ordre

Suites monotones

On dit qu'une suite réelle est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante (strictement ou non).

Suite croissante: On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est croissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1} \ge u_{n}$

Suite strictement croissante: On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est strictement croissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1}>u_{n}$

Suite décroissante:On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est décroissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1}\le u_{n}$

Suite strictement décroissante: On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est strictement décroissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1}< u_{n}$

Exemples :

Critères

Propriété 1 : critère de croissance

Propriété 2 : critère de décroissance

Limites de suites monotones

Suite monotone bornée

L'axiome de la borne supérieure, permet de démontrer facilement :

Si $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est croissante (resp. décroissante) et majorée par $M$ (resp. minorée par $m$ ), alors $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est convergente et $\lim_{n \rightarrow + \infty}u_n \le M ( \mbox{resp.} \lim_{n \rightarrow + \infty}u_n \ge m )$ .

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Si :

$(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est croissante
$(v_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est décroissante
$\exist N\in \mathbb N$ tel que : $\forall n > N$ on a $u_n \le v_n$

alors :

(u)

(v)

sont convergentes et $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\le\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n$

Suite monotone non bornée

Si $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb R^{\mathbb N}$ est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée ), alors $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ tend vers $+ \infty$ (resp. $- \infty$ )

Suites adjacentes

Deux suites réelles $(a_n)_{n \in \mathbb N }$ et $(b_n)_{n \in \mathbb N }$ sont dites adjacentes lorsque :

l'une est croissante
l'autre est décroissante
la suite $(a_n-b_n)_{n \in \mathbb N }$ converge vers 0

On complète souvent cette définition par la condition supplémentaire : la suite croissante est inférieure à la suite décroissante. Si cette précision permet de mieux visualiser ce que sont deux suites adjacentes, elle n'est qu'une conséquence des 3 conditions précédentes.

L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes:

Si deux suites réelles $(a_n)_{n \in \mathbb N }$ et $(b_n)_{n \in \mathbb N }$ sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite $\ell$ .
De plus, en supposant $(a_n)_{n \in \mathbb N }$ croissante et $(b_n)_{n \in \mathbb N }$ décroissante on a :

$\forall n \in \mathbb N, a_n \leq a_{n+1} \leq \ell \leq b_{n+1} \leq b_n$

Suites particulières

Suites de Cauchy

Voir article détaillé : Suite de Cauchy

Dans ce paragraphe, on supposera que $( \mathbb E,d)$ est un espace métrique.

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb E}$ est dite de Cauchy lorsque : $\forall \eta \in \mathbb R^*_+$ , $\exist N \in \mathbb N$ tels que : $\forall p \in \mathbb N$ , $\forall q \in \mathbb N$ , $p \ge N$ et $q \ge N$ $\Rightarrow d(u_p,u_q)\le\eta$

On démontre que

Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

Toute suite de Cauchy est bornée.
Dans un espace complet, toute suite de Cauchy est convergente

Suites extraites

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb N }$ une suite à valeurs dans un espace $E\,$ .

Si $\mathbb N \rightarrow \mathbb N , n \mapsto \sigma(n)$ est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite $(u_{\sigma(n)})_{n \in \mathbb N }$ est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N }$ .

Grosso modo, c'est la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N }$ pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.

Suites équivalentes

Définition

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ deux suites à valeurs réelles. $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ sont équivalentes si et seulement si

$\exists$ $({\varepsilon}_n)_{n \in \mathbb N}$ telle que $\lim_{n \to \infin} ({\varepsilon}_n) = 0$
$\exists N \in \mathbb N$ tel que $\forall n \geq N, u_n = v_n. (1 + {\varepsilon}_n)$

On note alors $u_n \sim v_n$

Remarque Si $v_n \ne 0$ à partir d'un certain rang, alors $u_n \sim v_n$ si et seulement si $\lim_{n \to \infin} {{u_n} \over {v_n}} = 1$

Suites prépondérantes

Définition

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ deux suites à valeurs réelles. On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est négligeable devant $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ si et seulement si :