Groupe spécial unitaire

En mathématiques, le groupe spécial unitaire de E, où E est un espace hermitien, est le groupe des automorphismes unitaires de E de déterminant 1, la loi de composition interne considérée étant la composition d’automorphismes. Il est noté SU(E). C’est un sous-groupe de U(E), le groupe unitaire des automorphismes de E.

Groupe spécial unitaire de degré n

Définition

Un cas particulier est le groupe spécial unitaire de degré n qui est le groupe des matrices unitaires à coefficients complexes de dimensions n×n et de déterminant 1, et que l’on note SU(n).

SU(n) est un groupe de Lie réel de dimension n²-1. Il est compact, simplement connexe et pour n⩾2 simple et semisimple.

L’algèbre de Lie correspondant à SU(n) est notée su(n). Il s’agit de l’algèbre des matrices complexes n×n antihermitiennes de trace nulle, le commutateur standard servant de crochet de Lie. C’est une algèbre réelle.

SU(2)

Le groupe SU(2) est isomorphe au groupe des quaternions de valeur absolue 1 et est donc identique à la sphère de dimension 3 S³. Come les quaternions représentent les rotations dans l’espace à 3 dimensions, il existe un homorphisme surjectif de groupes de Lie SU(2) → SO(3,R) de noyau {+I,–I}.

Les matrices suivantes forment une base de su(2) :

$i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

$i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

$i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$

(où i est l’unité « imaginaire »)

Ces matrices (dites « matrices de Pauli ») sont souvent utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules.

Groupe spécial unitaire