Statistique de Maxwell-Boltzmann

La statistique de Maxwell-Boltzmann est une distribution de probabilités utilisée en physique statistique pour déterminer la distribution de particules selon un ensemble de niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz.

Sommaire

1 Énoncé

1.1 Formulation discrète
1.2 Formulation continue

2 Limitations

3 Voir également

Énoncé

Formulation discrète

On se donne un système de N particules n'interagissant pas entre elles et pouvant prendre les différents états d'énergie discrets E_i. Le nombre N_i de particules dans un état d'énergie donné E_i est :

$N_i=N\frac{g_i\exp\left(-E_i/kT\right)}{\sum_{j}^{}{g_j\exp\left(-E_j/kT\right)}}$ .

où

g_i la dégénerescence de l'état d'énergie E_i, c'est-à-dire le nombre d'états possédant l'énergie $E i$ ;
k, la constante de Boltzmann ;
T, la température.

Formulation continue

On considère un système de N particules sans interaction entre elles et pouvant prendre continûment tout état d'énergie entre zéro et l'infini. Le nombre dN_i de particules possédant une énergie entre E et E+dE est :

$\mathrm{d}N_i = N \frac {g(E)\exp\left(-E/kT\right)} {\int g(\varepsilon)\exp\left(-\varepsilon/kT\right) \mathrm{d}\varepsilon} \, \mathrm{d}E$ ,

où g(E) est le nombre d'états d'énergie comprise entre E et E+dE.

Limitations

La statistique de Maxwell-Boltzmann s'applique en l'absence d'interaction entre particules : elle est donc valable pour un gaz parfait mais ne s'applique pas, par exemple, à un liquide.

De plus, elle s'applique aux « hautes températures » lorsque les effets quantiques sont négligeables. À basse température sont utilisées la statistique de Bose-Einstein pour les bosons et la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions.

Voir également

généralisation en physique quantique
- statistique de Bose-Einstein
- statistique de Fermi-Dirac
physique statistique
- théorie cinétique des gaz