Spline

Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, une fonction spline est une fonction définie par morceaux par des polynômes.

Dans les problèmes d'interpolation, la méthode avec des splines est souvent préférée par rapport à l'interpolation polynomiale car on obtient des résultats similaires en se servant de polynômes ayant des degrés inférieurs, tout en évitant les phénomènes de Runge.

Dans le domaine du design, en construction automobile par exemple, les splines sont utilisées pour approximer des contours complexes. Sa simplicité d'implémentation les rendent très populaires et sont fréquemment utilisées dans les logiciels de dessin.

Définition

Etant donnés k points t_i appelés noeuds dans un intervalle [a,b] avec

$a=t_0 < t_1 < \ldots < t_{k-2} < t_{k-1} = b$

La courbe S

$S:[a,b] \to \mathbb{R}$

est appelée spline de degré n si

$S \in \mathrm{C}^{n-1}(a,b)$

et sa restriction sur chaque sous-intervalle

$S_{[t_i,t_{i+1})} \in P_n \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2$ où

P n

est l'ensemble des polynômes de degré n.

En d'autres termes, sur chaque sous-intervalle

$[t_i,t_{i+1}) \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2$

S est un polynôme de degré n.

Les (t_i, S(t_i)) sont appelés point de contrôle.

Exemple

La fonction spline la plus simple est de degré 1, ce qui correspond à un polygone.

La plus couramment utilisée est la spline de degré 3 qui vérifie la propriété suivante :

$S''(a) = S''(b) = 0$

En dehors de l'intervalle, la courbe est une ligne droite tout en conversant le lissage.

Voir aussi

See also: Spline, Analyse numérique, B-spline, Courbe de Bézier, Design, Fonction (mathématiques), Interpolation (mathématiques), Interpolation polynomiale, Mathématique, Polygone