Série entière

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En mathématiques et particulièrement en analyse fonctionnelle, une série entière est une série de la forme

\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(x-c)^n

où an et c sont des coefficients réels ou complexes.

Une telle série converge généralement en tant que série de Taylor vers une fonction connue. Lorsque la valeur de c est nulle, on appelle aussi ces séries, des séries de Maclaurin.

Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonction génératrice et se généralisent dans la notion de série formelle. Dans la théorie des nombres, le concept de nombre p-adique est proche de celui de série entière

Sommaire
1 Définitions

1.1 Série entière
1.2 Rayon de convergence

2 Exemples
3 Propriétés

Définitions

x et c seront dans cet article soit des nombre réels soit des nombre complexes.

Série entière

Une série entière de variable x, est une série de terme général a n(x-c)n, où n est un entier naturel, et (an) est une suite de nombres réels ou complexes. C'est-à-dire: \sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(x-c)^n

Rayon de convergence

Pour qu'une telle série existe il est donc impératif que an(x - c)n soit borné, et même que sa limite à l'infini soit zéro. Et cela dépendra de x , de la suite (an).

Le rayon de convergence R de la série entière \sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(x-c)^n est tel que pour tout |x - c|< R la série converge. R est un nombre positif ou +{\infty}.

Dans le cas où la variable x est complexe, la série converge pour x {{\in}} D(C,R), disque de centre C(c) et de rayon R, et diverge pour |x - c|> R. Pas de résultat général pour |x - c|= R.

Dans le cas où la variable x est réelle, on parle encore de disque de convergence, bien que ce soit un intervalle de la droite réelle.

Ces affirmations s'appuient sur le lemme d'Abel.

Lemme d'Abel. Soit deux nombres réels r et r' , r > r' > 0. S'il existe un nombre M tel que |a_n|r_0 {\leq} M, pour tout entier n, alors la série \sum_{n=0}^{+{\infty}}a_nx^n converge normalement pour |x| < r' .

Calcul du rayon de convergence pour des séries entieres réelles:

alors le rayon de convergence de la série \sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(x-a)^n est égal à l \, .

Exemples

  1. La plus célèbre des séries entières: \sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{z^n}{n!}}. Son rayon de convergence est +{\infty}. Elle converge donc sur \mathbb{C}. C'est la fonction exponentielle.
  2. \sum_{n=0}^{+{\infty}}{n!z^n} a un rayon de convergence de 0. Elle ne converge que pour z = 0.
  3. \sum_{n=0}^{+{\infty}}{z^n} a un rayon de convergence de 1.

Propriétés

fonctions C^{\infty}

fonction analytique

See also: Série entière, Abel, Analyse, Analyse fonctionnelle, Combinatoire, Exponentielle