Série de Fourier

L'idée de décomposition en série trigonométrique est apparue à Joseph Fourier pour résoudre l'équation de la chaleur.

Une fonction périodique réelle f, continue et de période T peut se décomposer en une somme pondérée de fonctions sinusoïdales simples

$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$

où les coefficients a_i et b_i (dits coefficients de Fourier) sont des constantes réelles. Cette décomposition est aussi appelée « analyse harmonique ». Pour un entier n donné, la fonction: $a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$ est appelée « harmonique d'ordre n ».

On a donc en fait:

$\begin{matrix}f(x) &=& a_0 &+& \sum_{n = 1}^{\infty} \left ( a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )\right )\\ \ & \\ \ & =& a_0 &+& \sum_{n = 1}^{\infty} \chi _n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} + \Phi _n \right ) \end{matrix}$

avec:

$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cdot dx$

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) \cdot dx$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) \cdot dx$

(

χ n

Φ n

se déduisent des

a n

b n

)

Attention certains auteurs préfèrent écrire:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$

Mais alors, bien sûr, ils définissent:

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cdot dx$

Notons que la première méthode (plus habituelle) donne à $a 0$ un sens concret (moyenne; composante continue de la fonction); tandis que la seconde méthode harmonise les définitions des coefficients qui commencent alors tous par $2 / T$ . (Pour ceux qui l'utilisent, l'égalité de Parseval est elle aussi modifiée par la seconde méthode et son premier terme devient alors: $(a 0 / 2) 2$ .)

Si f est paire (f(-x) = f(x)), on a b_n = 0 pour tout n. Si f est impaire (f(-x) = -f(x)), on a a_n = 0 pour tout n.

On peut aussi décomposer la fonction avec des coefficients complexes

$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} A_n \cdot e^{i nx\frac{2\pi}{T}}$

avec

$A_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cdot e^{-i nx \frac{2\pi}{T}} dx$

On peut généraliser le concept de série de Fourier à l'aide des espaces de Hilbert ; ici l'espace de Hilbert est l'ensemble des fonctions continues périodiques réelles de période T donnée, la base de Hilbert est formée par les fonctions trigonométriques intervenant dans la décomposition, et les coordonnées sont donnés par les coefficients de Fourier.

La décomposition en séries de Fourier est également généralisée aux fonctions non périodiques avec la théorie de la transformée de Fourier.

Voir aussi

Liens externes

Synthèse de Fourier (animation Flash)

Série de Fourier

Voir aussi

Liens externes

See also: Série de Fourier, Analyse spectrale, Base de Hilbert, Continuité, Espace de Hilbert, Fonction périodique, Joseph Fourier, Transformée de Fourier, Égalité de Parseval, Équation de la chaleur