Récurrence transfinie
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La récurrence transfinie, appelée aussi sous l'influence anglaise induction transfinie, permet de construire des objets et de démontrer des théorèmes ; elle généralise la récurrence ordinaire sur N en considérant des familles indexées par un ordinal infini quelconque au lieu de se borner au plus petit qu'est N. Une fois un peu compris ce qu'est un ordinal, on dispose là d'un outil très commode pour faire des constructions conformes à l'intuition et on dispose de renseignements précis pour une étude approfondie (ce que ne permet pas le lemme de Zorn, qui a été introduit pour éviter l'usage des ordinaux transfinis).
Les ordinaux pour les nuls
L'axiome du choix a pour conséquence le théorème de Zermelo, qui assure que tout ensemble peut être bien ordonné ; d'autre part tout ensemble bien ordonné est isomorphe (pour l'ordre) à un ordinal. Un ordinal est en théorie axiomatique des ensembles un ensemble transitif bien ordonné par la relation ∈ comme ordre strict, si bien que tout élément d'un ordinal est lui-même un ordinal ; nous n'avons pas besoin de cette sophistication ici, nous contentant de considérer des ensembles bien ordonnés dont les éléments seront appelés ordinaux par commodité de langage.
Nous nous donnons un ensemble bien ordonné (J,≤) de cardinalité suffisante (dépendant du contexte) admettant un plus grand élément Ω (sinon, on lui en adjoint un), et désignons, pour α∈J, par Cα l'ensemble des β∈J strictement inférieurs à α. Soit ℵ un cardinal majoré (au sens large) par le cardinal de J (par exemple ℵ1, premier cardinal non dénombrable, si J est non dénombrable). L'ensemble des