Racine carrée

La racine carrée d'un nombre réel positif x est le nombre réel positif qui une fois multiplié par lui-même donne x.

La racine carrée de x est notée $\sqrt{x}$ .

Par exemple, $\sqrt{16}=4$ puisque 4 × 4 = 16, et $\sqrt{2}=1,41421...$ .

Les racines carrées sont importantes pour la résolution des équations du second degré.

En essayant de prolonger la fonction racine carrée aux nombres réels strictement négatifs on construit les nombres imaginaires (l'appellation ne doit pas induire en erreur : tout nombre, du fait qu'il constitue une abstraction, possède déjà un caractère imaginaire au sens de tous les jours; « imaginaire » en terminologie mathématique n'a pas du tout le même sens) et par extension le corps des nombres complexes.

Sommaire

1 Propriétés

2 Les racines carrées en algèbre

3 Extraction de racines carrées

4 Calcul approché

5 Calcul par la méthode du goutte à goutte

6 Construction géométrique de la racine carrée

7 Les racines carrées de nombres complexes

8 Les racines carrées de matrices et d'opérateurs

9 Les racines carrées, approximations entières

9.1 Démonstration

10 Itérations infinies de racines carrées

11 Voir aussi

Propriétés

Les propriétés importantes suivantes de la fonction racine carrée sont valables pour tous nombres réels positifs x et y (dans certains cas strictement positifs) :

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ pour tout nombre réel x

(voir valeur absolue)

La fonction racine carrée envoie un nombre rationnel sur un nombre algébrique;

$\sqrt{x}$ est rationnel si et seulement si x est un nombre rationnel et (à part 0) quotient de deux carrés parfaits (0 peut s'écrire $\frac{0}{\sqrt{2}}$ ). En particulier, $\sqrt{2}$ est irrationnel (son carré 2 n'est pas le quotient de deux carrés parfaits).

La fonction racine carrée envoie l'aire d'un carré sur la longueur d'un de ses côtés.

La fonction racine carrée a la représentation graphique suivante:

Image manquante
Racine_carrée.png
Image:racine_carrée.png

La fonction racine est continue en tout réel positif x, et dérivable en tout réel strictement positif x (mais n'est pas dérivable en x=0; en ce point la pente de la tangente est infinie; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale).

Sa dérivée est égale à $x\mapsto\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , et on peut l'obtenir facilement en considérant $x\mapsto\sqrt{x}$ comme la fonction puissance $\frac{1}{2}$ (première propriété énumérée au-dessus).

Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s'obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée :

$\sqrt{1+h}=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}}h^n$

$=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n$

$=1 + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} {C_{2n}^n \over (2n-1)2^{2n}}h^n$

$= 1 + \frac{1}{2}h - \frac{1}{8}h^2 + \frac{1}{16} h^3 - \frac{5}{128} h^4 + \dots$

pour |h| <1.

Remarquons au passage que

${C_{2n}^n \over (2n-1)}=2\left[C_{2n-2}^{n-1}-C_{2n-2}^n \right]$

et est donc un entier naturel.

Les racines carrées en algèbre

Soient x et a deux réels, tels que x²=a. Une erreur courante est de «prendre la racine carrée» et d'en déduire que $x=\sqrt{a}$ Cela est inexact, parce que la racine carrée de x² n'est pas x, mais la valeur absolue de x : |x|, d'après l'une des règles ci-dessus.

Ainsi, nous pouvons conclure que $|x|=\sqrt{a}$ , ou $x=\pm\sqrt{a}$

Extraction de racines carrées

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d'extraire la racine carrée d'un nombre. Évidemment, si la racine carrée n'est pas un nombre décimal, alors l'algorithme ne se termine jamais.

Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n'importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui suit, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100.

Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine à l'écart, de la même façon que lorsque nous effectuons une division classique.

À chaque étape:

on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d'un reste éventuel
soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante. On place ce nouveau chiffre x sur la ligne supérieure au dessus de la paire abaissée
on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste
si le reste est nul et qu'il n'y a plus de chiffre à abaisser alors l'algorithme se termine sinon on recommence.

Exemple: Quelle est la racine carrée de 152,2756 (en base 10).

Le résultat est le suivant.

       ____1__2,_3__4_
        |
        |  01 52,27 56                        1
 
 x         01                   1×1=1         1
          ____                                __
 
           00 52                              22
 
 2x        00 44                22×2=44        2
          _______                             ___
 
              08 27                           243
 
 24x          07 29             243×3=729       3
             _______                          ____
 
                 98 56                        2464
 
 246x            98 56          2464×4=9856      4
                _______
 
                 00 00          fin de l'algorithme

Le résultat trouvé est 12,34

Vérification:

12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34.
    = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02)
    = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004
    = 152,2756

Calcul approché

L'équation de Pell conduit à une méthode pour trouver des approximations rationnelles de racines carrées de nombres entiers.

Un autre algorithme plus couramment utilisé pour approcher √x est basé sur la méthode de Newton et procède de la manière suivante :

on place une valeur positive arbitraire dans r (idéalement la plus proche possible de la racine carrée de x)
on remplace r par la moyenne de r et de x/r
on recommence à l'étape 2

L'algorithme converge de manière quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres exacts de r double pratiquement à chaque étape.

Cet algorithme fonctionne également bien pour les nombres p-adiques, mais ne peut pas être utilisé pour identifier de vraies racines carrées des racines carrées p-adiques; il est facile, par exemple, de construire une suite de nombres rationnels par cette méthode qui converge vers +3 dans les réels, mais vers -3 dans les 2-adiques.

Calcul par la méthode du goutte à goutte

Voir Technique_de_l'extraction_de_racine

Construction géométrique de la racine carrée

Image manquante
Construction_racine_carree.png

AO = 1, OB = a, OH = x

Il est possible de construire la racine carrée d'un nombre constructible. Soit a ce nombre, on cherche donc à construire dans le plan un segment de longueur $\sqrt{a}$ .

Construisons le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O tel que AO=1. Considérons ensuite le cercle de diamètre AB et menons la hauteur issue de O sécante en H avec le demi-cercle supérieur. Le triangle ABH est rectangle en H. Soit x=OH. En utilisant le théorème de Pythagore, on montre que $x = \sqrt{a}$ . Cette égalité justifie par ailleurs que les triangles AOH et HOB sont semblables

Démonstration de $x = \sqrt{a}$ :

Dans le triangle rectangle HOB : x² + a² = HB²
Dans le triangle rectangle ABH : HB² = (a+1)² - AH²
Dans le triangle rectangle AOH : AH² = 1² + x²
D'où x² + a² = (a+1)² - (1² + x²), soit, après simplification x² = a, soit $x = \sqrt{a}$ !

Les racines carrées de nombres complexes

Pour tout nombre complexe non nul z il existe exactement deux nombres w tels que w² = z. La définition de racine de $\sqrt{z}$ est la suivante : si z s'écrit sous forme trigonométrique $z=r e^{i\varphi}$ avec -π < φ ≤ π, alors nous posons $\sqrt{z}=\sqrt{r} e^{\frac{i\varphi}{2}}$ .

Ainsi définie, la fonction racine carrée est holomorphe partout sauf en les réels négatifs. (en lesquels elle n'est même pas continue).Le développement en série de Taylor ci-dessus reste valable pour x complexe.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique, la formule suivante peut être utilisée:

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x} {2}}$

où le signe de la partie imaginaire de la racine est le même que le signe de la partie imaginaire du nombre initial.

Notons qu'à cause de la nature discontinue de la fonction de racine carrée dans le plan complexe, la relation $\sqrt{zw}=\sqrt{z}\sqrt{w}$ est fausse en général.

Supposer cette propriété toujours vraie risque de nous conduire à des démonstrations fausses et, par exemple ce qui suit est une démonstration de l'égalité -1 = 1 :

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \times (-1)} = \sqrt{1} = 1$

La troisième égalité ne peut pas être justifiée. (Voir la preuve que 1 est égal à -1.)

Les racines carrées de matrices et d'opérateurs

Si A est une matrice définie positive ou un opérateur défini positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice ou un opérateur définis positifs B tel que B² = A; nous définissons alors √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B² = A.

Cela peut se généralier à un opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d'une façon satisfaisante. Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes.

Les racines carrées, approximations entières

Les demo makers ont parfois besoin de construire de tables de racines carrées entières.

exemple:

CARRE  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .. 15 16 17 .. 24 25
 RACINE 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 .. 3  4  4 .. 4  5

Lorque l'on observe la suite des racines, On s'appercoit que les racines sont constantes, puis incrémentées. Plus précisément,

le 0 est répété 1 fois,
le 1, 3 fois
le 2, 5 fois
le 3, 7 fois
le 4, 9 fois

Le nombre de fois est une suite de nombres impairs (incrémentés de 2 en 2).

Démonstration

(a+1)² -a² = a² +2a +1 -a²
            = 2a + 1

on retrouve donc notre exemple:

le a=2, 2a+1=5 fois
le a=3, 2a+1=7 fois
le a=4, 2a+1=9 fois

Itérations infinies de racines carrées

Il va de soit que :

$2 = \sqrt{2+2}$

qui peut s'écrire encore :

$2 = \sqrt{2+\sqrt{2+2}}$

et en « réitérant à l'infini » :

$2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Ramanujan obtint une formule similaire pour 3.

Il partit de la décomposition

$(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,$

et construisit le produit $n (n + p)$ en fixant $p = 2$

$n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}$

Il substitua le terme $(n + 3)$

$n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}$

Ramanujan réitéra à l'infini en remplaçant maintenant $n$ par 1 sans se préoccupper du passage à la limite et obtint la jolie formule :

$3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}$

En fixant $n$ et $p$ à d'autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, vous pourrez également construire d'autres belles formules comme :

$4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}$

En résumé, la relation suivante, itérée à l'infini :

$n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}$

permet donc d'exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 2 comme une itération infinie de racines carrées.