Division euclidienne
La division entière ou division euclidienne est une opération qui à deux entiers naturels appelés dividende et diviseur associe deux autres appelés quotient et reste. Initialement réservée aux entiers naturels non nuls, elle se généralise sous certaines conditions à des entiers relatifs ou même à des polynômes. La division euclidienne est à la base de l'arithmétique et a donné lieu à la création des congruences.
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Problématique
La division euclidienne permet de répondre à des questions du type :
Je possède 194 bonbons, comment les partager équitablement entre 17 personnes?
On peut donner 1 bonbon à chacun, il reste alors 177 bonbons.
On continue la distribution: si chacun prend 2 bonbons, il en reste 160
...
Si chacun prend 11 bonbons, 187 (11 × 17) bonbons sont alors distribués et il ne reste plus que 7 bonbons. Aucun partage supplémentaire ne peut se faire.
On écrira que 194 = 11 × 17 + 7 . On appellera 11 le quotient et 7 le reste de la division de 194 par 17.
Définitions
Division euclidienne dans les entiers naturels
Si a est un entier naturel (appelé dividende), si b est un entier naturel non nul (appelé diviseur), alors il existe un couple unique d'entiers q (appelé quotient) et r (appelé reste) tel que
-
avec 
Donner les valeur de q et r s'appelle effectuer la division euclidienne de a par b
Nous avons alors la relation : dividende = diviseur × quotient + reste
Division euclidienne dans les entiers relatifs
On peut généraliser la définition précédente en acceptant que a soit un entier relatif, alors q peut être un entier relatif mais b se doit de rester un entier naturel non nul.
Division euclidienne dans l'ensemble des polynômes
Si A et B sont des polynomes à coefficients dans un corps K avec degré(B) non nul alors il existe un unique couple de polynômes Q et R tels que
- A = B × Q + R avec degré(R) < degré(B)
Remarque
Si B est un polynôme constant non nul, la division est exacte, le reste est nul. Le reste est dit de degré 
.
Division euclidienne dans un anneau
Dans certains types d'anneaux commutatifs unitaires intègres, on peut définir une division euclidienne par
- a = bq + r avec r = 0 ou v(r) < v(b) v étant une application de A - { 0 } dans
. Ces anneaux sont appelés anneaux euclidiens.
- voir article détaillé : anneau euclidien.