Quadrilatère
Quelques quadrilatères particuliers :
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image:geometrie_quadrilataire.png
Exemple de quadrilatère quelconque
Inventaire
Les quadrilatères quelconques offrent peu d'intérêt mais permettent de voir ce qui se cachent dans les définitions des quadrilatères particuliers (trapèzes, parallélogramme, rectangle, losange, carré) On distinguera d'abord les quadrilatères croisés (dont deux côtés se croisent), les quadrilatères non-convexes et les quadrilatères convexes.
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Un quadrilatère convexe est un quadrilatère dont on peut faire le tour avec une ficelle tendue sans quitter les côtés (dans l'image ci-dessus, le pointillé sur le second quadrilatère représente la ficelle. Mathématiquement parlant, un quadrilatère est convexe si et seulement si tout segment joignant deux points du quadrilatère reste toujours à l'intérieur du quadrilatère.
Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple
- les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires
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Image:Quadrilatères à diagonales perpendiculaires.png
- On peut observer que cette propriété offre peu d'intérêt de régularité. Seul le dernier dessin commence à ressembler à un objet régulier (un cerf-volant) qui nous évoque de loin le losange.
- les quadrilatères dont les côtés sont égaux deux à deux.
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Image:Quadrilatères à côtés égaux.png
- On peut observer que l'on n'obtient pas toujours un parallélogramme. Si les côtés égaux sont consécutifs, on retombe sur le cerf-volant. Si le quadrilatère n'est pas convexe, on peut obtenir un quadrilatère croisé.
- les quadrilatères dont les côtés sont parallèles
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Image:Quadrilatères à côtés parallèles.png
- on retrouve là les deux classes intéressantes de quadrilatères : les trapèzes et les parallélogrammes
- enfin, les parallélogrammes particuliers nous redonnent les classes des rectangles, des losanges et des carrés (rectangle et losange)
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Image:Quadrilatères remarquables.png
Propriétés générales des quadrilatères
La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé.
L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.