Propagation des ondes

La propagation des ondes est un domaine de la physique s'intéressant aux déplacement des ondes électromagnétiques dans les milieux. On distingue généralement deux catégories de propagation des ondes :

La propagation dans l'espace libre (vide, air, milieu massif comme le verre, etc.)
La propagation guidée (fibre optique, guide d'onde, etc.)

Sommaire

1 Équation d'onde

2 Vitesse de propagation

3 Onde harmonique - période et fréquence

4 Ondes progressives et ondes stationnaires

5 Phénomènes affectant la propagation des ondes

Équation d'onde

L'équation générale qui décrit la propagation d'une onde $\vec E$ dans l'espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope est :

$\nabla ^2 \vec E=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2\vec E}{\partial t^2}$

$\vec E$ décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas.

Si on s'intéresse à ce qui se passe pour chacune des composantes de $\vec E$ (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

$\nabla ^2 U=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}$

Intéressons nous à la propagation selon la seule direction $z$ :

$\frac {\partial ^2 U}{\partial z^2}=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}$

Pour une onde plane, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

$U (z, t) = f (z - c t) + g (z + c t)$

En effet, on peut écrire :

$\left(\frac {\partial ^2}{\partial z^2}-\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2}{\partial t^2}\right) U(z,t) = 0$

soit :

$\left(\frac {\partial}{\partial z}-\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right)\left(\frac {\partial}{\partial z}+\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right) U(z,t) = 0$

Et si l'on pose a=z-ct et b=z+ct, on obtient :

$\left(\frac {\partial}{\partial a}\right)\left(\frac {\partial}{\partial b}\right) U(a,b) = 0$

Qui se résout en : $U (a, b) = f (a) + g (b)$ soit $U (z, t) = f (z - c t) + g (z + c t)$

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Vitesse de propagation

Il est intéressant de voir qu'en réalité, l'onde $U (z, t)$ ne dépend pas simplement de $z$ et de $t$ , mais des quantités $z - c t$ et $z + c t$ . Pour comprendre ce que cela signifie, considérons le cas d'une onde plane progressive vers les z croissants :

$U (z, t) = f (z - c t)$

Regardons la structure de l'onde au point $z + Δ z$ :

$U(z+\Delta z,t)=f(z+\Delta z-ct)=f(z-c(t-\frac {\Delta z}{c}))=f(z-c(t-\Delta t))$

L'expression ci-dessus nous montre que la structure de l'onde au point $z + Δ z$ est la même qu'au point $z$ à l'instant $t - Δ t$ , avec $Δ t = Δ z / c$ . Ce raisonnement nous permet de comprendre pourquoi une dépendance en $z \pm ct$ de l'onde signifie que celle-ci se déplace sans déformation, i.e qu'il s'agit d'une onde progressive.

Nous pouvons alors définir la vitesse de propagation de l'onde par :

$\frac {\Delta z}{\Delta t}=c$

Onde harmonique - période et fréquence

Une onde harmonique est une onde monochromatique dont l'expression est donnée dans notre cas par :

$U(z,t) = U_0\cos [\omega (t-\frac{z}{c})]$

La propriété essentielle de cette onde est sa double périodicité, spatiale et temporelle :

$U (z, t + 2π / ω) = U (z + 2π c / ω, t) = U (z, t)$

On définit alors les quantités suivantes :

La fréquence de l'onde $ν = ω / 2π$ ( $ω$ est appelé pulsation)
La longueur d'onde $λ = c / ν$
Le nombre d'onde $k = 2π / λ$

À trois dimensions, le nombre d'onde est remplacé par le vecteur d'onde, dont le sens est celui de la propagation de l'onde.

Voir également : Onde, Rayonnement électromagnétique.

Ondes progressives et ondes stationnaires

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Onde_progressive.gif

Onde progressive

Il est d'usage dans la communauté scientifique de distinguer les ondes progressives des ondes stationnaires. Les ondes progressives, décrites précédemment, avancent dans l'espace.

Les ondes stationnaires, au contraire, oscillent sans se déplacer. Ainsi, elles ne dépendent plus du seul paramètre $z - c t$ , mais des paramètres d'espace $z$ et de temps $t$ de façon indépendante. Une expression simple d'une onde stationnaire harmonique à une dimension est la suivante :

$U(z,t)=U_0\cos (\frac {t}{T})\cos (\frac {x}{\lambda})$

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Onde_stationnaire.gif

Onde stationnaire

À un temps t fixé, une onde stationnaire ressemble à une onde progressive. En revanche, son évolution temporelle est totalement différente. Une onde stationnaire possède des minimas (nœuds) et des maximas (ventres) d'amplitude fixes dans l'espace. Ainsi, si on se place aux nœuds de cette onde, l'amplitude est nulle quel que soit le temps. Avec une onde progressive, nous aurions vu l'amplitude évoluer, de façon sinusoïdale avec le temps dans le cas d'une onde harmonique.

Une façon simple de construire une onde stationnaire est de superposer deux ondes progressives se propageant en sens inverse. C'est d'ailleurs ce qui se passe lorsque une onde se réfléchit sur un miroir parfait.

Les ondes stationnaires sont des objets physiques très courants et se rencontrent notamment dans les cavités laser ou les lignes hyperfréquence.

Voir : Onde radio, Lumière, Propagation des ondes radio.

Propagation des ondes

Équation d'onde

Vitesse de propagation

Onde harmonique - période et fréquence

Ondes progressives et ondes stationnaires

Phénomènes affectant la propagation des ondes

See also: Propagation des ondes, D'Alembert, Diffraction, Diffusion des ondes, Fibre optique, Fréquence, Interférence, Isotrope, Laser, Longueur d'onde