Polynôme

En algèbre abstraite, un polynôme d'indéterminée X sur un anneau unitaire intègre est une expression de la forme :

$a_0 + a_1X^1 + a_2X^2 + ... + a_nX^n\,$

où X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

Si en mathématiques appliquées, en analyse et en algèbre linéaire, il est fréquent de confondre le polynôme avec la fonction polynôme, il n'en est pas de même en algèbre abstraite. Cet article traitera donc principalement du polynôme formel. L'étude de la fonction polynôme est traitée dans l'article fonction polynôme et, pour une première approche des fonctions polynômes à coefficients réels ou complexes, dans fonction polynôme (mathématiques élémentaires)

Sommaire

1 Considérations historiques

2 Polynômes formels

3 Fonctions polynômes

4 Divisibilité

4.1 Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre
4.2 Coefficients dans un corps commutatif

5 Constructions de nouvelles structures

5.1 Corps des fractions
5.2 Corps de rupture

6 Autres opérations sur les polynômes

6.1 Polynôme dérivé
6.2 Division suivant les puissances croissantes

7 Polynôme à plusieurs indéterminées

8 Voir aussi

Considérations historiques

Voir article détaillé : Histoire des polynômes

L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Les polynômes initialement créés pour résoudre des équations se trouvent confondus avec les fonctions polynômes. Les coefficients sont très souvents des réels positifs mais la soustraction est permise. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynôme. Cette évolution se fait conjointement avec le développement de l'algèbre abstraite. Les coefficients quittent alors le domaine des réels ou des complexes (polynômes à coefficient dans un corps) pour appartenir à des anneaux commutatif unitaire (comme Z). Le nombre de variables augmente et on est parfois amené à étudier des polynômes à 2, 3,.., n variables. L'étude des polynômes formels ouvre la porte à celle des séries formelles.

Polynômes formels

Un polynôme f est défini comme une expression formelle de la forme

$f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0$

où les coefficients a₀,.., a_n sont des éléments d'un anneau A et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau A, noté A[X] est en général construit à partir de suites d'éléments de A à support fini (nulles à partir d'un certain rang). Pour une construction de A[X] voir une construction de l'ensemble des polynômes.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et les règles suivantes :

X a = a X pour tous éléments a de l'anneau A

X^k X^l = X^{k + l} pour tous entiers naturels k et l.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau. L'anneau de polynômes à coefficients dans A, est désigné par A[X].

Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A.

On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les sommes de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

Fonctions polynômes

Fonction polynôme : À tout polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. La raison pour laquelle les algébristes doivent faire une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale est que sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts.

Exemple : Sur le corps fini $\mathbb Z/2\mathbb Z$ , le polynôme X + X² est non nul, mais sa fonction polynôme associée l'est.

Morphisme d'évaluation : Plus généralement, dans un polynôme f, on peut remplacer le symbole X par n'importe quel élément $x 0$ appartenant à une algèbre E sur A. L'application qui, à tout polynôme $f \in A[X]$ , associe l'élément $f (x 0)$ de $E$ (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en $x 0$ de $A [X]$ dans $E$ . Un cas très fréquent est celui où A est un corps $K$ , et E l'algèbre des matrices n × n sur $K$ , ou bien l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur $K$ . On définit ainsi des polynômes de matrices et d'endomorphismes :

$f(M) = a_n M^n + a_{n - 1} M^{n - 1} + \cdots + a_1 M + a_0I_n$

$f(u) = a_n u^n + a_{n - 1} u^{n - 1} + \cdots + a_1 u + a_0Id$

Divisibilité

En algèbre commutative,c'est-à-dire dans une anneau commutatif unitaire intègre, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Des résultats plus forts existent quand les coefficients sont pris dans un corps.

Coefficients dans un anneau commutatif unitaire intègre

Si f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f q = g.

On peut démontrer alors que «chaque racine engendre un facteur linéaire», ou plus formellement: si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f(a) = 0, alors le polynôme (X - a) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode de Hörner.

Certains polynômes aux propriétés particulières se détachent alors:

Polynôme inversible : un polynôme P est inversible ssi il existe un polynôme Q tel que PQ = 1.

Les seuls polynômes inversibles de A[X] sont les polynômes constants dont la constante est inversible dans A.

Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes UP où U est un polynôme inversible.

Un polynôme du premier degré dont le coefficient devant X est 1 est irréductible.

Le polynôme $X^2+1\,$ est irréductible dans $\R[X]$ mais pas dans $\mathbb C[X]$ .

Si A est un anneau factoriel, alors tout polynôme se décompose de manière unique, à un inversible près, en produit de polynômes irréductibles. A[X] est donc aussi factoriel.

Polynôme premier : P est un polynôme premier ssi , pour tout Q et S, si P ne divise pas Q alors P divise S.

Dans le cas où A est factoriel, les notions de polynôme premier et polynôme irréductible sont équivalente mais, dans les autres cas, on a seulement la propriété suivante: un polynôme premier est irréductible.

Polynôme primitif : Si A est un anneau factoriel, P est un polynôme primitif ssi le pgcd de ses coefficients est 1.
Polynôme scindé : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré

$X^2+1\,$ est scindé sur $\mathbb C$ mais pas sur $\R$ .

Polynôme séparable : Polynôme qui peut s'écrire comme produit de polynômes du premier degré X - a_i où tous les a_i sont distincts.
Polynôme premier entre eux : P et Q sont premiers entre eux ssi : pour tout polynôme S, si S divise P et Q alors S est inversible.
Polynôme unitaire : Polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1.

Coefficients dans un corps commutatif

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec : f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle la division euclidienne ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.

K[X] est donc un anneau euclidien (seul les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps sont des anneaux euclidiens) et cela permet alors de définir les notions de ppcm, de pgcd avec la mise en place d'un algorithme d'Euclide de recherche de pgcd. On retrouve aussi l'identité de Bézout sur les polynômes premiers entre eux : si P et Q sont premiers entre eux, il existe deux polynômes U et V tels que UP + VQ = 1 .

Constructions de nouvelles structures

Elles sont de deux types : construction d'extensions sur l'anneau A[X] ou extension sur l'anneau de départ.

Corps des fractions

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre, il en est de même de son anneau de polynôme, on peut donc construire son corps des fractions appelé corps des fractions rationnelles à coefficients dans A et d'indéterminée X

Corps de rupture

La seconde structure conduit à tout le domaine des extensions.

Si A est un anneau commutatif unitaire intègre et si P est un polynôme premier de A[X] , on peut construire un anneau commutatif unitaire intègre contenant A dans lequel P possède une racine.

Si P est un polynôme irréductible (i.e. premier) de K[X], on peut construire un corps commutatif contenant K dans lequel P possède une racine. C'est le corps de rupture de P.

La stratégie de construction nécessite la maîtrise des anneaux et de leurs idéaux. On considère l'idéal I engendré par P . Il est premier si les coefficients sont dans un anneau, il est maximal si les coefficients sont dans un corps. On construit alors l'anneau quotient A[X]/I ou K[X]/I qui se trouve être un anneau commutatif unitaire intègre ou un corps.

On plonge alors A dans cet anneau A_P par le morphisme injectif qui, à l'élément a, associe $\dot a$ la classe de a. Et on note r la classe de X. Le calcul de P(r) revient à déterminer la classe de P. Comme P est dans l'idéal I, sa classe est nulle donc P(r) = 0.

Un corps est algébriquement clos quand, il est inutile de chercher des corps de rupture. C'est à dire quand tous les polynômes sont scindés. C'est le cas en particulier de $\mathbb C$ .

Autres opérations sur les polynômes

Polynôme dérivé

Sur A[X], si P est le polynôme défini par $P(X) = \sum_{i=0}^n a_iX^i$ , le polynôme dP défini par $dP(x) = \sum_{i=1}^n i a_iX^{i-1}$ si n est non nul et par 0 sinon s'appelle le polynôme dérivé de P

L'application d de A[X] dans A[X] est un morphisme de groupe vérifiant d(PQ) = PdQ + QdP

Division suivant les puissances croissantes

Si K est un corps, pour tout entier n, et pour tout P et Q de K[X], Q non nul, il existe deux polynômes T et R tels que P = TQ + XⁿR avec deg(T) < n. Si Q possède un terme constant non nul, cette décomposition est unique.

Exemple :

1	+ 3X	+ 2X²	- 7X³			\|	1 + X - 2X²
	2X	+ 4X²	- 7X³			\|	1 + 2X + 2X² - 5X³
		2X²	- 3X³			\|
			- 5X³	+ 4 X⁴		\|
				+ 9 X⁴	- 10X⁵	\|

donc 1 + 3X + 2X² - 7X³ = (1 + X - 2X²)(1 + 2X + 2X² - 5X³) + X⁴(9 - 10X)

Cette opération est très utile dans la recherche d'une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ou celle d'un développement limité.

Polynôme à plusieurs indéterminées

Le cas de ces polynômes sera juste évoqué ici car l'anneau A[X, Y] peut tout simplement être considéré comme l'anneau des polynômes de la variable Y à coefficients dans A[X].

Le degré du polynôme sera alors la plus grande valeur obtenu en faisant les somme des exposants de cahque indéterminée dans chaque monôme.

$X^3 + 3XYZ^2 - 5Y + 7\,$

est un polynôme de degré 4 à trois indéterminées

Parmi les polynômes à n indéterminées, l'étude des polynômes symétriques et de leur groupe de permutation est un domaine important de l'algèbre.

Voir aussi

Fonction polynôme
Fonction polynôme (mathématiques élémentaires)
Équation polynomiale
Dans le domaine de l'algèbre linéaire : Polynôme minimal, Polynôme caractéristique
Dans le domaine de l'analyse : Polynôme d'interpolation