Mécanique quantique

La mécanique quantique, aussi appelée physique quantique ou théorie des quanta, est une théorie physique établie aux débuts du XXe siècle, notamment par Satyendranath Bose, Louis de Broglie, Paul Dirac, Albert Einstein, Enrico Fermi, Werner Heisenberg, Wolfgang Ernst Pauli et Erwin Schrödinger. Elle se présente comme une généralisation de la mécanique classique qui s'est avérée limitée dans son champ de validité : elle échoue en effet dans la description de l'infiniment petit (voir par ex. le modèle de l'atome) et de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique (quantification de la lumière). Théorie non relativiste à ses débuts, elle a été généralisée pour prendre en compte les effets de la relativité restreinte et a donné la théorie des champs.

La physique quantique a apporté une révolution conceptuelle rayonnant jusqu'en philosophie (remise en cause du déterminisme) et en littérature (science-fiction). Elle a permis nombre d'applications technologiques : énergie nucléaire, imagerie médicale par résonance magnétique nucléaire, diode, transistor, microscope électronique, laser. Un siècle après sa conception, elle est abondamment utilisée dans la recherche en chimie théorique (chimie quantique), en physique (physique de la matière condensée, physique nucléaire, physique des particules, astrophysique) et en mathématiques (formalisation de la théorie des champs). Elle est donc considérée avec la relativité générale d'Einstein comme l'une des deux théories majeures du XXe siècle.

La mécanique quantique est connue pour être contre-intuitive et choquer le sens commun. La raison principale est que le monde de l'infiniment petit ne se comporte pas de la même manière que notre environnement macroscopique. Les différences fondamentales qui séparent ces deux mondes sont

la quantification : un certain nombre d'observables, par exemple l'énergie émise par un atome lors d'une transition entre états excités, sont quantifiées, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent prendre leur valeur que dans un ensemble discret de résultats. A contrario, la mécanique classique prédit le plus souvent que ces observables peuvent prendre continûment n'importe quelle valeur.
la dualité onde-particule : la notion d'onde et de particule qui sont séparées en mécanique classique deviennent deux facettes distinctes d'un même phénomène, décrit de manière plus abstraite par sa fonction d'onde. En particulier, l'expérience prouve que la lumière peut se comporter comme des particules (photons, mis en évidence par l'effet photoélectrique) ou comme une onde (rayonnement produisant des interférences) selon le contexte expérimental, les électrons et autres particules pouvant également se comporter de manière ondulatoire.
le principe d'incertitude d'Heisenberg : une incertitude intrinsèque empêche la mesure simultanée de deux grandeurs conjuguées avec une précision arbitraire. Il est notamment impossible d'obtenir une grande précision sur la mesure de la vitesse d'une particule sans obtenir une précision médiocre sur sa position, et vice versa. Cette incertitude est intrinsèque ; elle constitue une limite à la précision de tout appareil de mesure.
le principe d'une nature qui joue aux dés : si l'évolution d'un système est bel et bien déterministe (par ex. fonction d'onde régie par l'équation de Schrödinger), la mesure d'une observable d'un système dans un état donné connu peut donner aléatoirement une valeur prise dans un ensemble possible de résultats.
l'observation influe sur le système observé : au cours de la mesure d'une observable, un système quantique voit son état modifié. Ce phénomène est intrinsèque et ne dépend pas du soin que l'expérimentateur prend à ne pas « déranger » le système.

Sommaire

1 La théorie des quanta, explication du rayonnement du corps noir

2 L'effet photoélectrique

3 L'effet Compton

4 Les relations de de Broglie

5 La relation fréquence/énergie

6 L'équation de Schrödinger

7 Les inégalités de Heisenberg

8 L'intrication

9 Les réponses apportées par la mécanique quantique

10 Quelques paradoxes

10.1 Chat de Schrödinger
10.2 Paradoxe EPR (Einstein Podolski Rosen) et expérience d'Alain Aspect
10.3 « Télétransport quantique »
10.4 Expérience de Marlan Scully

11 Articles apparentés

12 Bibliographie

12.1 Ouvrages destinés à l'apprentissage de la discipline

13 Liens externes

La théorie des quanta, explication du rayonnement du corps noir

Le rayonnement du corps noir est le rayonnement produit par un corps en équilibre thermodynamique avec son milieu. Nous pouvons nous le représenter en imaginant une enceinte fermée percée d'un trou minuscule. Le matériau est supposé absorbant, le rayonnement émis à l'intérieur de l'enceinte subit de multiples réflexions, émissions et absorptions avant de sortir par le trou. L'enceinte et son rayonnement sont en équilibre thermique. Les caractéristiques de ce rayonnement ne dépendent pas de la nature du matériau, mais de sa température. Nous l'appelons rayonnement du corps noir.

À la fin du XIX^e siècle, la théorie classique était incapable d'expliquer la théorie du rayonnement du corps noir, ce qui a abouti à la catastrophe ultraviolette : l'énergie émise tendait théoriquement vers l'infini, ce qui était évidemment en contradiction avec l'expérience.

Max Planck proposa en 1900 une loi, qui porte son nom, qui décrit la densité du rayonnement en fonction de la température. Cette loi impose de penser le rayonnement électromagnétique comme étant quantifié, échangé par paquets : $E = h ν$ . Cette loi sera par la suite démontrée par Albert Einstein.

La loi de Planck s'écrit :

$B_\lambda(T)=\frac{8{\pi}hc}{\lambda^{5}(e^{\frac{hc}{{\lambda}kT}}-1)}$

L'effet photoélectrique

À la fin du XIX^e siècle, les physiciens ont remarqué que lorsque l'on éclaire un métal avec une lumière, celui-ci peut émettre des électrons. Leur énergie dépend de la fréquence de la lumière incidente, et leur nombre dépend de l'intensité lumineuse, ce qui est difficilement compréhensible au sein du modèle ondulatoire de la lumière. Si la lumière incidente a une fréquence en dessous d'un certain seuil, rien ne se passe.

Einstein proposa en 1905 un article expliquant ce phénomène. Les photons sont porteurs de l'énergie $E = h ν$ et de l'impulsion $\vec{p}=\hbar\vec{k}$ . Les électrons absorbant les photons acquièrent cette énergie ; si elle est suffisante, les électrons peuvent alors sortir du métal. Les électrons émis ont alors l'énergie : $h ν - E s e u i l$ .

Cet article lui valut le titre de docteur en 1905, et le prix Nobel de physique en 1921.

L'effet Compton

Toujours à la fin du XIX^e siècle, les physiciens ont constaté que les électrons pouvaient interagir avec la lumière. Dans le cadre de la mécanique quantique et de la relativité restreinte, l'interprétation de l'effet Compton considère le choc photon-électron, comme un choc entre les deux particules. Les photons sont diffusés suivant des directions variables et révèlent une augmentation de variation de longueur d'onde qui dépend de la direction de sortie. La théorie classique n'arrivait pas à expliquer la variation observée de longueur d'onde en fonction de la direction.

La théorie quantique propose cette équation pour la diffusion des électrons :

$\Delta \lambda = 4\pi\frac{\hbar}{mc}\sin^2{\theta \over 2}$

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Effet_Compton1.jpg

Considérons un photon venant de la gauche et se dirigeant vers la droite avec une impulsion $\vec{p}$ et une énergie $E = p c$ ; le photon est diffusé par un électron au repos, d'énergie initiale $m c 2$ , dans une direction faisant un angle $θ$ par rapport à la direction d'origine. L'électron prenant une direction $Θ$ , l'impulsion du photon sera $\vec{p'}$ et celui de l'électron $\vec{P'}$ . Nous allons appliquer la loi de la conservation de l'impulsion, et de la conservation de l'énergie.

$\left\{\begin{matrix} p & = & p'\cdot\cos\theta + P'\cdot\cos\Theta & (1)\\ 0 & = & p'\cdot\sin\theta + P'\cdot\sin\Theta & (2)\\ pc + mc^2 & = & p'c + \sqrt{P'^2c^2 + m^2c^4} & (3) \end{matrix}\right.$

Menant à :

$\left\{\begin{matrix} P'^2cos^2\Theta & = & (p - p'\cdot\cos\theta)^2 & (1')\\ P'^2sin^2\Theta & = & p'^2\sin^2\theta & (2')\\ P'^2c^2 + m^2c^4 & = & (pc - p'c)^2 + m^2c^4 - 2mc^2(pc - p'c) & (3') \end{matrix}\right.$

Additionnant (1') et (2'), modifiant (3') il vient :

$\left\{\begin{matrix} P'^2 & = & p^2+p'^2 - 2pp'\cdot\cos\theta\\ P'^2 & = & (p-p')^2 - 2mc(p - p') \end{matrix}\right.$

D'où, par soustraction :

2 p p'(1 - c o s θ) = - 2 m c (p - p').

L'introduction de l'hypothèse quantique $p=h/\lambda\quad;\quad p'=h/\lambda'$ donne directement

$\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{mc}(1 - \cos \theta)$

et donc :

$\Delta \lambda = \frac{4 \pi \hbar}{mc}\sin^2{\theta \over 2}$

CQFD

Remarque : l'effet Compton n'est bien sûr pas limité au couple photon-électron. Toute particule chargée électriquement est susceptible d'y être soumise ; cependant, l'effet est plus spectaculaire pour l'électron, la variation de longueur d'onde étant inversement proportionnelle à la masse de la particule (l'électron est la plus légère des particules chargées de l'Univers « ordinaire »).

Les relations de de Broglie

Alors qu'il était clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues, même si les interférences des électrons n'étaient pas encore observées. Louis de Broglie proposa d'associer à chaque particule d'énergie $E$ , une pulsation $ν$ , d'impulsion $p$ une longueur d'onde $λ$ . Les relations de de Broglie s'écrivent :

$\left\{\begin{matrix}E=h\nu\\p=\frac{h}{\lambda}\end{matrix}\right.$ soit $\left\{\begin{matrix}E=\hbar\omega\\\vec{p}=\hbar\vec{k}\end{matrix}\right.$

La relation fréquence/énergie

Au début du XX^e siècle, l'observation expérimentale des spectres formés de raies monochromatiques, des effets à seuil tel que l'effet photoélectrique et aussi de l'analyse par Max Planck du rayonnement d'un corps chaud plus connu sous le nom du rayonnement du corps noir, conduisit à remettre en question toute une partie de la physique connue à l'époque. Ainsi on fut amené à émettre l'hypothèse que le rayonnement électromagnétique était quantifié: l'énergie transportée par ce rayonnement ne pouvait pas prendre n'importe quelle valeur, mais uniquement un multiple d'une valeur qu'on a appelé quantum de lumière, ou photon. Cette hypothèse fut d'abord émise par Max Planck puis par Einstein qui reçu le prix Nobel pour son interprétation de l'effet photoélectrique, premier signe tangible de l'existence des photons.

Cette relation qui exprime la quanta de l'énergie s'écrit ainsi:

| Δ E | = h ν

où

h

est la constante de Planck ou quantum d'action (

6,62.10 - 34

joule s)

| Δ E |

est la variation d'énergie du système (émise ou absorbé)

ν

(lettre grecque se prononçant nu) est la fréquence du rayonnement émis ou absorbé.

Cette relation exprime qu'il y a un lien direct et universel entre la fréquence d'un rayonnement électromagnétique et les variations d'énergie qui se sont produites : les deux sont simplement proportionnels.

Cette relation n'est pas toujours applicable : en effet les transferts d'énergie sont quantifiés ; un atome ne peut se placer qu'à des niveaux d'énergie bien définis, et si une onde électromagnétique apporte trop ou pas assez d'énergie, l'atome n'absorbera rien.

L'équation de Schrödinger

A chaque particule est associée une onde. Il est connu en mécanique classique qu'une onde plane se propageant dans la direction des x positifs de pulsation $ω$ s'écrit :

Ψ(x, t) = Ψ 0 e - i (ω t - k x)

Si nous utilisons les relations de de Broglie, nous pouvons faire apparaître les grandeurs telles que l'énergie et l'impulsion :

$\Psi(x,t)=\Psi_{0}e^{-i({\frac{E}{\hbar}t-\frac{p_x}{\hbar}x})}$

Nous pouvons généraliser cette expression en 3 dimensions :

$\Psi(\vec{r},t)=\Psi_{0}e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\vec{p}\cdot\vec{r})}$

Il est alors clair que si l'on veut obtenir l'énergie, il suffit de dériver par rapport au temps, et pour obtenir l'impulsion, on prend le gradient :

$\left\{\begin{matrix} i{\hbar}\frac{{\partial}\Psi}{{\partial}t} & = & E\Psi(\vec{r},t)\\ -i{\hbar}{\nabla}\Psi & = & \vec{p}\Psi(\vec{r},t) \end{matrix}\right.$

L'hamiltonien permettant de donner l'énergie du système est donné par l'expression classique :

$E=\frac{p^2}{2m}+V(\vec{r},t)$

L'équation de Schrödinger s'écrit alors :

$i{\hbar}\frac{{\partial}\Psi(\vec{r},t)}{{\partial}t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(\vec{r},t)+V(\vec{r},t)\Psi(\vec{r},t)$

Cette équation est valable pour de petites vitesses. Il existe une équation d'onde relativiste correspondant à l'équation de Klein-Gordon. Tout d'abord écrivons l'équation de l'énergie pour une particule relativiste :

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4

L'équation de Klein-Gordon s'écrit alors :

$-\hbar^2\frac{{\partial}^2\Psi(\vec{r},t)}{{\partial}t^2}=-\hbar^2c^2\Delta\Psi(\vec{r},t)+m^2c^4\Psi(\vec{r},t)$

Cette équation est valable en physique quantique relativiste pour les bosons non chargés, comme par exemple le photon. L'équation s'écrit aussi : $\left(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\Psi(\vec{r},t)=0$

Il existe une autre équation pour les fermions : l'équation de Dirac.

L'équation de Schrödinger ne se prête pas dans le cas général à une résolution symbolique. Il faut la résoudre numériquement, et c'est cette résolution numérique qui fait apparaître la disposition curieuse des orbitales électroniques.

Les inégalités de Heisenberg

Les relations d'incertitude d'Heisenberg traduisent l'impossibilité de connaître simultanément la position $r$ et l'impulsion $p$ d'une particule avec une précision infinie. Plus on connait la position ( $Δ r$ petit) alors moins on connait l'impulsion ( $Δ p$ grand) et inversement. Cette propriété rappelle le cas des ondes, via un résultat de la transformée de Fourier, et exprime ici la dualité onde-corpuscule. Il est clair qu'il faut abandonner la notion classique de trajectoire, de particules ponctuelles. De plus la deuxième inégalité correspond au temps nécessaire à la détection d'une particule d'énergie $E$ (ce concept est primordial en théorie quantique des champs qui fait appel aux particules virtuelles).

$\left\{\begin{matrix} {\Delta}r\cdot{\Delta}p & {\ge} & \frac{\hbar}{2}\\ {\Delta}E\cdot{\Delta}t & {\ge} & \frac{\hbar}{2} \end{matrix}\right.$

L'intrication

L'intrication est une superposition d'états quantiques (voir aussi fonction d'onde) de deux systèmes ou plus, non factorisable en un produit d'états correspondant à chaque système. Deux systèmes ou deux particules peuvent être intriqués dès qu'il existe une interaction entre eux. En conséquence, les états intriqués sont la règle plutôt que l'exception. Une mesure effectuée sur l'une des particules changera son état quantique selon le postulat quantique de la mesure. Du fait de l'intrication, cette mesure aura un effet simultané sur l'état de l'autre particule. Néanmoins, il est incorrect d'assimiler ce changement d'état à une transmission d'information plus rapide que la vitesse de la lumière (et donc une violation de la théorie de la relativité). La raison est que le résultat de la mesure de la première particule est toujours aléatoire dans le cas d'états intriqués. Il est donc impossible de « transmettre » quelqu'information que ce soit puisque la modification de l'état de l'autre particule, pour immédiate qu'elle soit, n'en reste pas moins tout aussi aléatoire. Les corrélations entre les mesures des deux particules, bien que très réelles et mises en évidence dans de nombreux laboratoires de par le monde, restent indétectables tant que les résultats des mesures ne sont pas comparés, ce qui implique nécessairement un échange d'information classique, respectueux de la relativité (voir aussi le Paradoxe_EPR). La téléportation quantique fait usage de l'intrication pour assurer le transfert de l'état quantique d'un système physique vers un autre système physique. Ce processus est le seul moyen connu de transférer parfaitement l'information quantique. Il ne peut dépasser la vitesse de la lumière et est également « désincarné », en ce sens qu'il n'y a pas de transfert de matière (contrairement à la téléportation fictive de Star Trek).

Les réponses apportées par la mécanique quantique

Un autre problème se posait à l'époque, celui des niveaux d'énergie des atomes, qui étaient discrets, et non continus comme pouvait le laisser prévoir la mécanique classique. La mécanique quantique a apporté une réponse à cette question, en considérant que les particules de matière étaient non pas des particules ponctuelles, mais qu'elles avaient une étendue spatiale et qu'elles se comportaient comme des ondes (voir la mécanique ondulatoire de de Broglie).

Un autre grand succès de la mécanique fut de résoudre le paradoxe de Gibbs, une constatation que selon la mécanique classique, l'entropie n'est pas une propriété extensive. L'accord entre les mesures et la théorie fut rétabli par la mécanique quantique en tenant compte du fait que des particules identiques ne sont, en général, pas distinguables.

Elle permet de décrire les structures électroniques des atomes et des matériaux, et permet ainsi d'expliquer le comportement des supraconducteurs, de la matière condensée (cristaux et leurs vibrations appelées phonons, structure de bandes, comportement des semi-conducteurs, effet tunnel).

La théorie quantique qui décrit ce qui se passe dans un cadre relativiste, le seul à pouvoir prendre en compte la non conservation des particules et donc les désintégrations nucléaires, est la théorie quantique des champs.

Quelques paradoxes

Ces « paradoxes » ne font état d'aucune faille dans la mécanique quantique, mais révèlent au contraire à quel point notre intuition peut se révéler trompeuse dans ce domaine qui ne relève pas directement de l'expérience quotidienne de nos sens.

Chat de Schrödinger

Ce paradoxe est détaillé dans l'article Chat de Schrödinger.

Paradoxe EPR (Einstein Podolski Rosen) et expérience d'Alain Aspect

Ce paradoxe est décrit dans l'article Paradoxe EPR.

« Télétransport quantique »

L'expression est en fait à la limite de l'abus de langage. On ne peut déterminer l'état d'un système quantique qu'en l'observant, ce qui a pour effet de détruire l'état en question. Celui-ci peut en revanche, une fois connu, être en principe recréé ailleurs. En d'autres termes, la duplication n'est pas possible dans le monde quantique, seule l'est une reconstruction en un autre endroit, superficiellement voisine de ce que la science-fiction (par exemple Star trek) nommait téléportation pour les objets macroscopiques.

Télétransport quantique (anglais, schémas)

Les particules intriquées d'Anton Zeilinger

Expérience de Marlan Scully

Voir l'article : Expérience de Marlan Scully

Articles apparentés

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Axiomes de la mécanique quantique et Postulats de la mécanique quantique (deux présentations de la même chose)
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Paradoxes de la mécanique quantique
Spin
Physique des particules
Principe d'incertitude
Oscillateur harmonique quantique

Bibliographie

Ouvrages destinés à l'apprentissage de la discipline

Cohen-Tannoudji, Claude, Mécanique quantique, tome 1, éd. Hermann, ISBN 2-7056-6074-7
Feynman, Richard, Le Cours de physique de Feynman, tome 3, Mécanique quantique, éd. Dunod, ISBN 2-1000-4934-8.
Messiah, Albert, Mécanique quantique, tome 1, éd. Dunod, ISBN 2-1000-7361-3
Landau, Lev et Lifchitz, Evguéni, Mécanique quantique, éd. Mir