Pendule pesant

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Formulaire

Le pendule pesant est un système composé d'une masse m accrochée à un fil de masse négligeable dans un champ de pesanteur uniforme. Au repos, le fil est tendu sous l'effet du poids de la masse. Si l'on écarte le fil de la verticale tout en le maintenant tendu, le pendule se met à osciller.

Sommaire

1 Mise en équation

1.1 Expression exacte de la période
1.2 Expression approchée de la période

2 Texte de Galilée concernant le pendule

3 Applications

4 Voir aussi

5 Liens externes

Mise en équation

Si l'on néglige les frottements, l'énergie du pendule est constante et se partage entre énergie cinétique et énergie potentielle :

$E_t= E_c+E_p= \frac{m\cdot l^2\cdot (\frac{d \theta}{d t})^2}{2}-m \cdot g \cdot l \cdot cos \theta = -m \cdot g \cdot l \cdot cos \theta_o$

où

l est la longueur du fil.
g est l'accélération de la pesanteur, et vaut en moyenne 9,81 m·s^-2 en France.
θ est l'angle que fait le pendule avec la verticale
θ₀ est l'angle maximal.

Ou bien encore, en dérivant la relation ci-dessus par rapport au temps et en simplifiant :

$\theta'' + {g \over l}\sin(\theta) = 0$

équation que l'on approxime en :

$\theta'' + {g \over l}\theta = 0$

lorsque les oscillations sont petites.

Ces oscillations se font indéfiniment, avec une période T constante qui est le quadruple du temps mis pour aller de 0 à θ₀. Cette période dépend de l'amplitude du mouvement et de la longueur du fil, mais pas de la masse. Plus on augmente l'amplitude θ₀, plus la période augmente.

Expression exacte de la période

L'expression exacte de cette période est :

$T= 4 \sqrt{\frac{l}{2\cdot g}}\int_0^{\theta_o}{\frac{d \theta}{\sqrt{cos \theta -cos \theta_o}}}$

$T= 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{ g}}\cdot K (sin \frac{ \theta_o}{ 2})$

où K est une intégrale elliptique complête de première espèce qui vaut quasiment $(1+\frac{\theta_o^2}{16})$ aux petites oscillations.

On peut également exprimer T sous forme de série. Si on pose $\gamma = \sin\left({\theta_0 \over 2}\right)$ , alors :

$T = 2\pi \sqrt{l \over g} \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n} {\gamma^{2n} \over 16^n}$ , où ${2n \choose n}$ est un coefficient binomial.

Si on développe γ en fonction de θ₀, on obtient :

$T = 2\pi\sqrt{l \over g} (1 + {\theta_0^2 \over 16} + {11\theta_0^4 \over 3072} + ...)$ .

le tableau ci dessous donne les angles en degré, puis en radian dans les deux premières colonnes

et le pourcentage d'erreur 1: $(\frac{\theta_o^2}{16})$ et le pourcentage d'erreur 2: $(\frac{\theta_o^2}{16}+ {11\theta_0^4 \over 3072})$ :

$\begin{bmatrix} 10 & 0,17453293 & 0,00 & 0,00\\ 20 & 0,34906585 & 0,01 & 0,01\\ 30 & 0,52359878 & 0,02 & 0,02\\ 40 & 0,6981317 & 0,03 & 0,03\\ 50 & 0,87266463 & 0,05 & 0,05\\ 60 & 1,04719755 & 0,07 & 0,07\\ 70 & 1,22173048 & 0,09 & 0,10\\ 80 & 1,3962634 & 0,12 & 0,14\\ 90 & 1,57079633 & 0,15 & 0,18\\ \end{bmatrix}$

On peut retenir que à un angle de θo 50° la période est 5% plus grande que celle donnée par la formule simple : $T= 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{ g}}$ et que la correction due au second terme n'est perceptible qu'à des angles supérieurs à 70°

Expression approchée de la période

Pour de faibles oscillations, la période est quasiment la même ; on appelle ceci l'« isochronisme des petites oscillations ». Cette période vaut (en secondes) :

$T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ </center>

Ceci se démontre ou bien en prenant le terme constant dans l'expression exacte de T, ou bien en faisant l'approximation sin(θ) = θ, valable pour des valeurs faibles de θ. L'équation du mouvement devient alors

$\theta'' + {g \over l}\theta = 0$

dont les solutions sont des fonctions sinus et cosinus de pulsation $\sqrt{g \over l}$ .

Avec le frottement, les oscillations s'amortissent, l'amplitude diminue jusqu'à l'arrêt complet du pendule.(cf circuit RLC ou oscillateur mécanique (résonance))

Texte de Galilée concernant le pendule

Galileo_Galilei est le nom complet de Galilée

(...) Quand aux temps d'oscillation de mobiles suspendus à des fils de différentes longueurs, ils ont entre eux même proportion que les racines carrées des temps; si bien que pour obtenir un pendule dont le temps d'oscillation soit double de celui d'un autre pendule, il convient de donner au premier une longueur quadruple de celle du second; de la même manière si un pendule a une longueur neuf fois supérieure à celle d'un autre pendule, celui-ci effectuera trois oscillations pendant que celui-là en accomplira une seule; d'où il résulte que les longueurs des cordes sont inversement proportionnelles aux carrés du nombre des oscillations accomplies dans le même temps.

Sagredo: Si j'ai bien compris, je pourrai donc aisément connaître la longueur d'une corde attachée à une hauteur quelconque, quand bien même son point de suspension serait invisible et que l' on apercevrait seulement son extrémité inférieure. Si en effet j'attache en cette partie de la corde un poids fort lourd, auquel je communique un mouvement de va et vient, et si un ami compte le nombre de ces oscillations pendant que moi-même je compte les oscillations effectuées par un autre pendule suspendu à un fil mesurant exactement une coudée, alors grâce au nombre des oscillations de ces deux pendules durant un même temps, je trouverai la longueur de la corde; supposons par exemple que mon ami ait compté vingt oscillations de la grande corde, dans le même temps où j'en comptais deux cent quarante pour mon fil long d'une coudée; prenant les carrés des deux nombres vingt et deux cent quarante, c’est-à-dire 400 et 57 600, je dirai que la grande corde contient 57 600 des unités dont mon petit pendule contient 400, mais celui-ci mesure une seule coudée: je diviserai donc 57 600 par 400, ce qui donne 144, etje dirai que ma corde a une longueur de 144 coudées.

Salviati: Vous ne vous tromperiez même pas d'une palme surtout si vous prenez un grand nombre d'oscillations.

Sagredo : Vous me donnez à bien des reprises l'occasion d'admirer la richesse et aussi l'extrême libéralité de la nature, quand de choses si communes, et je dirais même d'une certaine façon triviales, vous faites surgir des connaissances aussi étonnantes que nouvelles, et souvent imprévues pour l'imagination. Il m'est bien arrivé mille fois de prêter attention à des oscillations, et notamment à celles de ces lampes d'église, suspendu es à de longues cordes, et que quelqu'un par inadvertance avait mises en mouvement; mais le plus que j'aie su tirer de telles observations est l'improbabilité de l'opinion selon laquelle semblables mouvements seraient entretenus par le milieu, c'est-à-dire par l'air, qui vraiment devrait avaoir une grande sagacité, et en même temps peu de choses à faire, pour passer ainsi des heures et des heures à maintenir avec une telle régularité le balancement d'un poids. Quand à conclure que ce même mobile, suspendu à une corde de cent coudées, puis écarté de son point le plus bas tantôt de quatre vingt dix degrés, tantôt d'un degré ou d'un demi-degré seulement, ait besoin du même temps pour franchir le plus petit et le plus grand de ces arcs, cela, je crois, ne me serait jamais venu à l' esprit, et maintenant encore me semble tenir de l'impossible.

(...) En fin de compte j'ai pris deux boules, l'une en plomb et l'autre en liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elles à deux fils très fins, longs tous deux de quatre ou cinq coudées; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchai en même temps et celle-ci, suivant les circonférences des cercles ayant les fils égaux pour rayons, dépassaient la perpendiculaire pour remonter de l'autre côté, par la même voie; une bonne centaine d'allées et venues, accomplies par les boules elles-mêmes, m'ont clairement montré qu'entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n'acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus minime, mais que tous deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique. On observe également l'action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence; même si les arcs décrits par le liège n'ont plus que cinq ou six degrés, contre cinquante ou soixante pour le plomb, ils sont en effet traversés en des temps égaux.

commentaire sur le texte:

en italiques sont indiquées les lois du pendule selon Galilée. Noter qu'il s'est trompé sur la deuxième n'ayant pas la précision voulue dans ses mesures pour observer la dépendance de la période en fonction de l'amplitude.

Applications

La première définition de la seconde fut la demi-période d'un pendule de un mètre de long. (La seconde n'est plus définie mécaniquement, mais par un nombre bien défini de périodes d'une transition dans un atome de Césium).

Soit L₀ la longueur d'un pendule ayant une période de T₀ = 2 secondes:

un pendule de L₀/4 aura une période de 1s
un pendule de longueur L aura une période telle que: $\frac{T}{T_0}= \sqrt{\frac{L}{L_0}}$

En élevant au carré le rapport des périodes, on obtient le rapport des longueurs des pendules.

Les horloges, ou pendules (nom féminin), utilisent un balancier qui est un pendule pesant. On règle la période d'oscillation en faisant bouger une masse le long du balancier.

Voir aussi

Le pendule de Foucault est un pendule pesant dans un repère tournant.
La cycloïde est la courbe que devrait suivre le pendule pour que la période de ses oscillations ne dépende pas de l'amplitude.(cf pendule cycloïdal )
histoire de la gravitation