Pendule cycloïdal

Le pendule cycloïdal est le mouvement d'un petit anneau glissant sans frottement sur une cycloïde concave ayant pour base l'axe horizontal Ox et suivant l'équation :

$x = a\cdot u - a\cdot \sin(u)$
$y = -a\cdot (1-\cos(u))$

avec u variant de 0 à 2π pour avoir une arche complète.

Sur cette courbe, la perle exécute, quelles que soient les conditions initiales (pourvu qu'elle reste dans l'arche), une oscillation sinusoïdale telle que la pulsation satisfasse l'égalité suivante :

$\omega^2 = \frac{g}{4\cdot a}$ .

Sommaire

1 Histoire des sciences

Histoire des sciences

Christiaan Huygens, mathématicien du XVII^e siècle, est celui qui démontra cette formule de chute ralentie, alors qu'il ne connaissait pas le principe fondamental de la dynamique de Newton. Le brouillon de sa démonstration (vers 1659 ?) met en évidence l'énergie déployée pour vaincre ce problème. Il avait bien sûr remarqué que le cercle osculateur au fond du vase était de rayon 4a. Il avait également constaté que la développée de la cycloïde était la cycloïde déduite de la première par la translation $\pi \cdot a \cdot \vec{i} + 2\cdot a\cdot \vec{j}$ .

Huygens est le créateur de la théorie concernant la développée de la développante. Celle-ci est le protothéorème géométrique de l'analyse : la dérivée de la primitive est la fonction elle-même. Mais il avait remarqué aussi que le cercle montait trop vite provoquant l'anharmonicité des grandes amplitudes (pendule pesant). Il fallait donc adoucir la pente. Il savait même qu'il faudrait $y + s^2\cdot k = cste$ (résultat peut-être déjà connu de Torricelli)

Démonstration

Lemme géométrique : $y + s^2\cdot k = cste$

On calcule l'abscisse curviligne $s \,$ :

$ds^2 = dx^2 + dy^2 = 4a^2\cdot \sin^2\left (\frac{u}{2}\right )$ ,

d'où $s = - a\cdot \cos\left (\frac{u}{2}\right ) + cste$ ;

mais $y = -2a\cdot \sin^2\left (\frac{u}{2}\right ) = -2a\cdot (1-\left (\frac{s}{a}\right )^2)$ si l'on choisit l'origine au bas de la cycloïde.

Appliquer alors la formule de Torricelli :

$\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 + m\cdot g\cdot y = cste$

Elle se simplifie par $m \,$ (loi de Galilée : tous les corps ont même loi de chute), et elle se réécrit grâce au lemme :

$\left (\frac{ds}{dt}\right )^2 + \frac{g}{4a} \cdot s^2 = cste$ : équation de l'oscillateur harmonique.

Pratique

Découper dans du contreplaqué de 8 mm, 4 flasques de demicycloïdes ; les placer deux à deux en regard, dans deux plans parallèles, distants de 10 cm (réglable). Fixer une suspension bifilaire qui s'enroulera sur le bord curviligne des demi-cycloïdes,et y mettre un plomb. Si vous avez pris 4a = 1 m , vous aurez une superbe horloge marquant les secondes à chaque passage de verticale, même s'il y a un léger amortissement.

L'enregistrement des tops de passage est grandiose de régularité calme : avec un plomb de 2 kg, l'horloge ne va pas faillir avant un long moment.

Ce procédé préconisé pour les horloges à pendule est utilisé pour certaines franc-comtoises, mais, en réalité, comme une horloge à poids oscille toujours à la même amplitude (réglage d'Airy), le dispositif n'est guère utile. Il est simplement intéressant pour un mathématicien.

Voir aussi

Lien externe

Simulation flash d'un pendule cycloïdal.