Paradoxe de Saint-Pétersbourg
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En probabilités, le paradoxe de Saint-Pétersbourg est une variable aléatoire dont la valeur est, très probablement, petite, mais dont l'espérance est infinie. Dans cette situation, la théorie semble recommander une série de décisions qu'aucun acteur rationnel ne prendrait. L'apparition des fonctions d'utilité a permis de résoudre ce problème. Le problème a été énoncé par Nicolas Bernoulli et la première solution a été publiée en 1738 par son frère Daniel Bernoulli.
Le Jeu
Soit le jeu suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparait, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2n euros au joueur. Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu?
Il faut donc calculer le gain moyen du joueur au cours d'une partie : ce doit-être la mise initiale pour que le jeu soit équitable. Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 2 euros. La probabilité pour que cela arrive est 1/2, ce qui donne une espérance pour ce coup de 1/2× 2=1. Si face intervient pour la première fois au 2ème lancer, ce qui se produit avec une probabilité de 1/2×1/2=1/4, le gain est de 4 euros, ce qui fait une espérance de gain de 1 euro pour ce coup.
Plus généralement, si face apparait pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de 1/2n, le gain est de 2n euros, d'où une espérance de 1 euro pour ce coup. Maintenant, l'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de tous les cas possibles, et vaut donc : On somme une infinité de termes qui valent tous 1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc miser une infinité d'euros pour que le jeu soit équitable, ce qui est bien sûr impossible.
Une résolution simple
Une résolution simple mais efficace de ce paradoxe consiste à faire la supposition réaliste que la banque n'est pas infiniment riche, et va donc cesser de payer au delà d'une certaine somme.
Par exemple, si on suppose qu'elle ne dispose « que » de 4 000 000 euros soit ~ 222 euros, le jeu va cesser au 22e coup et la mise équitable sera alors de 22 euros.
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