Parabole de sûreté
Soit un boulet B, tombant dans le vide , dans un champ de pesanteur uniforme g.
Sa trajectoire sera dans le plan vertical (O, V°, g). Selon la célèbre loi de la chute libre énoncée en 1602 par Galilée(1568-1642) , son mouvement ne dépend ni de sa masse , ni de sa densité.
Il est régi par la seule équation : OB = 1/2 g.t^2 + V°.t ,
qui est l'équation d'une parabole en coordonnées affines( de vecteurs de base g et V° ).
Pour un module V° donné, quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe(C) qui « entoure » le point O; au-delà de (C) , « on est en sûreté », d'où le nom de la courbe.
Dans le cas présent, (C) est une parabole, d'où le titre : parabole de sûreté :
En coordonnées polaires, en partant de l'apex H de la parabole,
son équation est:
OP = r = p/(1+cosθ ), avec p = portée horizontale = V°^2 /g.
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Démonstration
Elle a été donnée par Galilée, améliorée par Torricelli , son élève (de 1640 à 1642).La voici:
Soit φ = angle (OH,V°). Soit P le point de portée maximale,sur (C). IL faut démontrer, avec θ = 2φ, que OP = p/2cos2φ, avec p/2 = OH.
Soit OR = V°t ,le mouvement comme rien! et RP = -1/2 g t^2 la chute verticale.
Considérer le losange OPRQ de côtés égaux OP=RP=RQ=OQ = 1/2 g.t^2, de centre C :la cote zC vaut OH ; alors on lit :
géométriquement,OC = OH/cosφ et OP = OC/cosφ
soit OP = OH /cos2φ, CQFD.
Note d' Histoire
Le père minime Mersenne(1588-1648) fût ébahi par une démonstration si simple, et adressa une lettre au jeune Huygens(1629-1695) , alors jeune homme, qui répondit immédiatement qu'il en était « fort bien ainsi ».
Bien faire attention au fait que ce sont des problèmes de théoriciens : on est bien loin de se préoccuper de la trajectoire réelle d'un boulet.
En réalité , Torricelli est le premier à mettre la relativité galiléenne en acte : son idée ? Extrèmement simple, mais géniale : quelle que soit la position B1,du boulet B, à l'instant t1, avec la vitesse V1 , il suffit de se placer dans le référentiel galiléen tangent pour retrouver une chute verticale B1B = 1/2 g (t-t1)^2.Ce sera pour la première fois sans doute le fameux dessin du « funiculaire à rochets » : le mobile poursuit sa course tangentielle , et retombe sur sa trajectoire, etc. Appris très jeune par Huygens, cela ne lui posera aucun problème de calculer ensuite l'accélération centripète du mouvement circulaire ( encore qu'il préférât toujours parler de force centrifuge).Il n'y avait qu'un pas à franchir :ce fût Newton.
Relativité galiléenne?
Mais encore bien plus :Torricelli a-t-il pu traiter formellement le problème de covariance galiléenne suivant :soit une vitesse nulle au départ. Intuitivement le corps tombe verticalement : OB = k f(t).
Appliquons maintenant le principe d'inertie et celui de relativité galiléenne et l'invariance temporelle et locale des lois : pour 2 temps t1 et t2, on doit avoir :
OB(t1+t2) = V°(t1+t2) + k f(t1+t2) = OB1 + V1.t2 + k f(t2), avec OB1 = V°.t1 +k f(t1) et V1 = V° +k f '(t1).
Soit f(t1+t2) = f(t1) +f(t2) +f '(t1).t2
Comme t1 et t2 sont commutatifs , f'(t1).t2 = f'(t2).t1 :donc f'(t)/t=cste; la vitesse est nécessairement fonction linéaire du temps : f'(t) = g.t : dans un champ invariant par position, c’est-à-dire produisant en tout point initial, de vitesse nulle, le même mouvement, alors la relativité galiléenne impose la linéarité temporelle de la vitesse: V(t) = g.t .
Personnellement, je serais heureuse de retrouver qui,le premier, a écrit un papier de ce goût-là:avis de recherche.merci d'avance.
(1,3,5,7...)
La suite est mieux connue : très habilement en construisant le diagramme des vitesses, Galilée retrouve la célèbre loi du trapèze : B1B2 = (V1+V2)/2 .(t2-t1) , soit des accroissements de distance comme 0+1, 1+2 , 2+3 ,3+4 , ... Nous préférons dire aujourd'hui un anachronique et sec z = 1/2 g t^2. Oui! On n'a jamais le temps.
Et rajoutera Torricelli V(x) = sqrt( 2g x); ou V2^2 -V1^2 = 2 g (z1-z2)
Soit V1^2 + 2g z1 = V^2 + 2g.z = cste = (2E° pour nous aujourd'hui): c'est la formule de Torricelli qu'il appliquera à l'écoulement de l'eau, par un raisonnement que perso, je n'ai jamais lu.Comme V^2 >0, on obtient un z maximum: c'est cette idée que Torricelli va transmettre au jeune Huygens via Mersenne : oui, ainsi va la science; si j'ai pu voir plus loin c'est parce que j'étais juché sur des épaules de géants...