Opérations sur les limites

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Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
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Arithmétique
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Logique
Probabilité
Statistique

Cette page est une annexe de l'article Limite (mathématiques élémentaires), qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition...

Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Voir aussi : Limites de référence, Propriétés des limites

Sommaire
1 Opérations algébriques

1.1 Multiplication par un réel
1.2 Addition
1.3 Multiplication
1.4 Division
1.5 Formes indéterminées

2 Composition

Opérations algébriques

On considère ici le cas où où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas on peut conclure mais parfois une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite u = (u_n) \,\! ou une fonction f \,\! par un réel fixé k \,\! ; on obtient alors :

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie \ell \,\! ou diverge vers \pm\infty \,\! :

\lim \, u_n \,\! \ \ \ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\lim \, (ku)_n \,\! \ k>0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\ k<0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ +\infty \ \,\! \ -\infty \ \,\!

On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction f \,\!. Que ce soit pour une limite en un point a \in \R \,\! ou pour une limite en \pm\infty \,\! on écrira \lim \, f \,\!. La limite de kf \,\! est :

\lim \, f \,\! \ \ \ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\lim \, kf \,\! \ k>0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ -\infty \ \,\! \ +\infty \ \,\!
\ k<0 \,\! \ k\ell \ \,\! \ +\infty \ \,\! \ -\infty \ \,\!

Addition

On peut additionner deux suites u=(u_n) \,\! et v=(v_n) \,\! ou deux fonctions f \,\! et g \,\! :

On peut donner la limite de la suite u+v \,\! en fonction des limites respectives des suites u \,\! et v \,\!. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\lim \, v_n \,\!
\lim \, u_n \,\! \ell' \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell \,\! \ell + \ell' \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
-\infty \,\! -\infty \,\! -\infty \,\! FI
+\infty \,\! +\infty \,\! FI +\infty \,\!

On a exactement le même tableau pour la limite de f+g \,\! en fonction des limites respectives de f \,\! et de g \,\!.

\lim \, f \,\!
\lim \, g \,\! \ell' \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell \,\! \ell + \ell' \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
-\infty \,\! -\infty \,\! -\infty \,\! FI
+\infty \,\! +\infty \,\! FI +\infty \,\!

Multiplication

On peut multiplier deux suites u=(u_n) \,\! et v=(v_n) \,\! ou deux fonctions f \,\! et g \,\! :

On peut donner la limite de la suite u \times v \,\! en fonction des limites respectives des suites u \,\! et v \,\!. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\lim \, v_n \,\!
\lim \, u_n \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! +\infty \,\! -\infty \,\!
\ell>0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! FI FI
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI +\infty \,\! -\infty \,\!
+\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! FI -\infty \,\! +\infty \,\!

On a exactement le même tableau pour la limite de f \times g \,\! en fonction des limites respectives de f \,\! et de g \,\!.

\lim \, g \,\!
\lim \, f \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! +\infty \,\! -\infty \,\!
\ell>0 \,\! \ell \ell' \,\! \ell \ell' \,\! 0 \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! 0 \,\! FI FI
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI +\infty \,\! -\infty \,\!
+\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! FI -\infty \,\! +\infty \,\!

Division

On peut diviser une suite u=(u_n) \,\! par une suite v=(v_n) \,\! vérifiant \forall n\in \N,\ v_n \neq 0 \,\! ou une fonction f \,\! par une fonction g \,\! vérifiant g(x) \neq 0 \,\! pour tout x \,\! au voisinage du point considéré :

On peut donner la limite de la suite \frac{u}{v} \,\! en fonction des limites respectives des suites u \,\! et v \,\!. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\lim \, v_n \,\!
\lim \, u_n \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0^- \,\! 0^+ \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
\ell>0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
0^- \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\! FI FI 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
0^+ \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\! FI FI 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI
+\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI

On a exactement le même tableau pour la limite de \frac{f}{g} \,\! en fonction des limites respectives de f \,\! et de g \,\!.

\lim \, g \,\!
\lim \, f \,\! \ell'<0 \,\! \ell'>0 \,\! 0^- \,\! 0^+ \,\! -\infty \,\! +\infty \,\!
\ell<0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
\ell>0 \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! \frac{\ell}{\ell'} \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
0^- \,\! 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\! FI FI 0^{(+)} \,\! 0^{(-)} \,\!
0^+ \,\! 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\! FI FI 0^{(-)} \,\! 0^{(+)} \,\!
-\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI
+\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! +\infty \,\! -\infty \,\! FI FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : +\infty - (+\infty)\,\!, soit de type multiplicatif : 0 \times \pm\infty \,\!, \frac{0}{0} \,\! ou \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \,\!.

Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

Exemple : on cherche à calculer \lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}) \,\!

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty \,\! donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factoris l'expression :
\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1) \,\!
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty \,\! et \lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1 \,\! donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication : \lim_{x \to 0^+} (\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}) = -\infty \,\!

Composition

See also: Opérations sur les limites, Algèbre (mathématiques élémentaires), Analyse (mathématiques élémentaires), Arithmétique (mathématiques élémentaires), Fonction numérique (mathématiques élémentaires), Géométrie (mathématiques élémentaires), Limite (mathématiques élémentaires), Limite de suite, Limites de référence