Longueur d'un arc

Intuitivement, la longueur d’un arc est la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales dont les sommets appartiennent à l’arc et ayant mêmes extrémités que l’arc.

Longueur d’un arc de courbe continûment différentiable, en représentation explicite

Considérons une courbe du plan ℝ², et supposons que la courbe soit le graphe d’une fonction continûment différentiable du segment [a, b] dans ℝ. La courbe est dite continûment différentiable (de classe $\mathcal C^1$ ).

Soit σ=(a₀, …, a_n) une subdivision de [a, b]. Nous pouvons lui associer la ligne polygonale de sommets : (a_k, f(a_k)) (k = 0,…,n). Sa longueur est la somme :

$\sum_{i=1}^n\sqrt{(a_i-a_{i-1})^2+(f(a_i)-f(a_{i-1}))^2}$

D’après le théorème des accroissements finis, pour tout i de {1, 2, ..., n}, il existe ξ_i dans l’intervalle a_i-1, a_i[ tel que

f(a_i)-f(a_i-1)=f'(ξ_i )(a_i-a_i-1)

La longueur de la ligne polygonale s’écrit :

$\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{i-1})\sqrt{1+f^{\prime}(\xi_i)^2}$

Nous reconnaissons une somme de Riemann de la fonction $x\mapsto \sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}$ . L’intégrale $\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}dx$ représente la longueur de la courbe.

Longueur d’un arc de courbe continûment différentiable en représentation paramétrique

Considérons une courbe paramétrée de ℝ³ définie par :

$t\mapsto M(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\\\end{pmatrix}$

où x, y, z sont des fonctions continûment différentiables sur un segment [a, b]. Notons ||.|| la norme euclidienne de ℝ³. Considérons σ=(t₀, …, t_n) une subdivision de [a, b]. La somme

$\sum_{i=1}^n ||M(t_i)-M(t_{i-1}||=\sum_{i=1}^n \sqrt{(x(t_i)-x(t_{i-1}))^2+(y(t_i)-y(t_{i-1}))^2+(z(t_i)-z(t_{i-1}))^2}$

représente la longueur de la ligne polygonale dont les sommets sont les points M(t_i).

D’après le théorème des accroissements finis, pour tout i dans {1, …, n}, il existe α_i, β_i et γ_i dans ]t_i-1, t_i[ tels que :

x(t_i)- x(t_i-1)= (t_i-t_i-1) x’(α_i)

y(t_i)- y(t_i-1)= (t_i-t_i-1) y’(β _i)

z(t_i)- z(t_i-1)= (t_i-t_i-1) z’(γ _i)

La somme est égale à :

$\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\sqrt{(x^{\prime}(\alpha_i))^2+(y^{\prime}(\beta_i))^2+(z^{\prime}(\gamma_i))^2}$

En utilisant l’uniforme continuité sur [a, b]³, de l’application $(r, s, t)\mapsto \sqrt{x^{\prime}(r)+ y^{\prime}(s)+ z^{\prime}(t)}$ , nous démontrons que la différence entre la somme précédente et la somme suivante :

$\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})\sqrt{(x^{\prime}(t_i))^2+(y^{\prime}(t_i))^2+(z^{\prime}(t_i))^2}$

tend vers 0 lorsque le pas des subdivisions tend vers 0. Cette dernière somme est une somme de Riemann de la fonction:

$t\mapsto \sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2+(z^{\prime}(t))^2}$ .

L’intégrale $\int_a^b \sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2+(z^{\prime}(t))^2}\,dt$ représente la longueur de la courbe.

Longueur d'un arc

Longueur d’un arc de courbe continûment différentiable, en représentation explicite

Longueur d’un arc de courbe continûment différentiable en représentation paramétrique

See also: Longueur d'un arc, Arc, Courbe, Dérivée, Fonction, Graphe, Intervalle (mathématiques), Plan, Riemann, Théorème