Octonion

En mathématiques, les octonions sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à 8 dimensions sur les réels. L'algèbre des octonions est généralement noté $\mathbb{O}$ .

En perdant l'importante propriété d'associativité, les octonions ont reçu moins d'attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie.

Sommaire

1 Historique

2 Définition

2.1 Construction de Cayley-Dickson
2.2 Plan mnémotechnique de Fano
2.3 Conjugaison , Norme , et Inverse

3 Propriétés

3.1 Automorphismes

4 Sujets liés

4.1 Liens externes et références

Historique

Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.

Définition

Chaque octonion est une combinaison linéaire d'octonions unitaires {1, i, j, k, l, li, lj, lk}. Chaque octonion x peut être écrit sous la forme :

x = x₀ + x₁ i + x₂ j + x₃ k + x₄ l + x₅ li + x₆ lj + x₇ lk.

avec des coefficients réels x_a.

L'addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants , comme pour les nombre complexes et les quaternions. La multiplication des octonions est complètement determinée par la table de multiplication des octonions unitaires ci-dessous :

1	i	j	k	l	li	lj	lk
i	−1	k	−j	−li	l	−lk	lj
j	−k	−1	i	−lj	lk	l	−li
k	j	−i	−1	−lk	−lj	li	l
l	li	lj	lk	−1	−i	−j	−k
li	−l	−lk	lj	i	−1	−k	j
lj	lk	−l	−li	j	k	−1	−i
lk	−lj	li	−l	k	−j	i	−1

Construction de Cayley-Dickson

A l'instar des quaternions definis comme couples de nombres complexes , les octonions peuvent être définis comme couples de quaternions. L'addition est définie par couples . Le produit de 2 couples de quaternions (a, b) and (c, d) est défini comme suit :

(a, b)(c, d) = (ac − db^*)(a^*d + cb)

où z^* est le conjugué du quaternion z. Cette définition est équivalente à celle définie ci-dessus lorsque les 8 octonions unitaires sont assimilés aux couples suivants :

(1,0), (i,0), (j,0), (k,0), (0,1), (0,i), (0,j), (0,k)

Plan mnémotechnique de Fano

Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme suivant :

Image manquante
Fano_mnemonic.png
Plan mnémotechnique de Fano

Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle passant par i, j, et k est considéré comme une droite) est appelé le plan de Fano. Notons que les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de (O). Notons que chaque couple de points distincts se trouve sur une droite unique et que chaque droite traverse exactement 3 points.

Soit (a, b, c) un triplet ordonné de points situé sur une droite donnée avec l'ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par : ab = c et ba = −c avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :

1 est le neutre pour la multiplication,
e² = −1 pour chaque point du diagramme

definit complètement la structure algébrique des octonions. Notons que chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de O isomorphe aux quaternions H.

Conjugaison , Norme , et Inverse

Le conjugué d'un octonion

x = x₀ + x₁ i + x₂ j + x₃ k + x₄ l + x₅ li + x₆ lj + x₇ lk

est donné par

x^* = x₀ − x₁ i − x₂ j − x₃ k − x₄ l − x₅ li − x₆ lj − x₇ lk.

La conjugation est une involution de $\mathbb{O}$ et satisfait (xy)^* = y^*x^* (notons le changement dans l'ordre de succession).

La partie réelle de x est définie comme suit ½(x + x^*) = x₀ et la partie imaginaire ½(x - x^*). L'ensemble de tous les octonions purement imaginaires forme une sous-algèbre à 7 dimensions de $\mathbb{O}$ , notée Im( $\mathbb{O}$ ).

La norme d'un octonion x est défini comme suit

$\|x\| = \sqrt{x^{*} x}$

La racine carrée définie ainsi x^*x = xx^* est toujours un nombre réel positif :

$\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2$

Notons que cette norme correspond avec la norme euclidienne sur R⁸.

L' existence d'une norme sur O implique l' existence d'un inverse pour chaque élément distinct de zéro dans O. L' inverse de x ≠ 0 est donné par

$x^{-1} = \frac{x^{*}}{\|x\|^2}$

Cela satisfait xx⁻¹ = x⁻¹x = 1.

Propriétés

La multiplication octonionique n'est ni commutative :

ij = − ji

ni associative :

(ij)l = − i(jl)

Elle satisfait une forme plus faible que l'associativité: l'alternativité. Cela signifie que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques (a,b)est associative :

(ab).b = a.(bb)

On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de O est isomorphe à R, C, ou H, qui sont tous associatifs.

Les octonions partagent une propriété importante avec R, C, and H: la norme sur O qui satisfait

$\|xy\| = \|x\|\|y\|$

Cela implique que les octonions forment une algèbre de division normée non-associative. Les algèbres de plus haute dimensions definies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété. Ils ont tous des diviseurs de zéro.

Il s'avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont R, C, H et O. Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives, de dimension finie sur les réels.

La multiplication n'étant pas associative, les éléments de O distincts de zéro ne forment pas un groupe. Ils forment un quasi-groupe.

Automorphismes

Un automorphisme, A, des octonions est une transformation linéaire de O qui satisfait

A(xy) = A(x)A(y).

L'ensemble des automorphismes de O forme un groupe appelé G2 . Le groupe G est simplement connexe, compact, réel, groupe de Lie de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie.

Sujets liés

Adolf Hurwitz
nombre hypercomplexe
- quaternions
- biquaternions
- sédénions

Liens externes et références

The Octonions - an article by John C. Baez
Octonion Fractals - fractals generated using octonion mathematics

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