Nombre pair
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Définition
On appelle nombre pair un nombre qui est divisible par 2. Ce nombre peut se mettre sous la forme 2 x n avec n entier (pair ou impair)
Exemple: 2 (n vaut 1), 4 (n vaut 2), 8 (n vaut 4), 14 (n vaut 7), 654 (n vaut 327)
1, 3, 5, 67 sont des nombres impairs
Opérations sur les nombres pairs
Addition sur les nombres pairs
1 - La somme de 2 nombres pairs donne un nombre pair.
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire:
A = 2 x d avec d entier
B = 2 x f avec f entier
Donc A + B = 2 x d + 2 x f
Ce qui donne en factorisant A + B = 2 x (d + f)
On retrouve bien la forme des nombres pairs, à savoir 2 x n donc LA SOMME DE 2 NOMBRES PAIRS DONNE UN NOMBRE PAIR.
2 - La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre impair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire:
A = 2 x d avec d entier
B = 2 x f + 1 avec f entier
Donc A + B = 2 x d + 2 x f + 1
Ce qui donne en factorisant A + B = 2 x (d + f) + 1
On retrouve bien la forme d'un nombre impair, à savoir 2 x n + 1 donc LA SOMME D'UN NOMBRE PAIR ET D'UN NOMBRE IMPAIR DONNE UN NOMBRE IMPAIR.
Multiplication sur les nombres pairs
1 - La multiplication de 2 nombres pairs donne un nombre pair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire:
A = 2 x d avec d entier
B = 2 x f avec f entier
Donc A x B = 2 x d x 2 x f
Ce qui donne A x B = 2 x (2 x d x f)
On retrouve encore une fois un nombre sous la forme 2 x n donc LA MULTIPLICATION DE 2 NOMBRES PAIRS DONNE UN NOMBRE PAIR
2 - La multiplication d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre pair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire:
A = 2 x d avec d entier
B = 2 x f + 1 avec f entier
Donc A x B = (2 x d) x (2 x f + 1)
Ce qui donne A x B = (2 x d x 2 x f) + (2 x d)
D'où A x B = 2 x (2 x d x f + d)
On retrouve encore une fois un nombre sous la forme 2 x n donc LA MULTIPLICATION D'UN NOMBRE PAIR ET D'UN NOMBRE IMPAIR DONNE UN NOMBRE PAIR
Soustraction sur les nombres pairs
1 - La soustraction de 2 nombres pairs donne un nombre pair
La démonstration est la même que pour l'addition sauf qu'à la fin on obtient A - B = 2 x (d - f)
2 - La soustraction d'un nombre pair et d'un nombre impair (ou inversement)donne un nombre impair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire:
A = 2 x d avec d entier
B = 2 x f + 1 avec f entier
Donc B - A = 2 x f + 1 - 2 x d = 2 x (f - d) + 1
Qui est de la même forme qu'un nombre impair
Si on fait A - B, on obtient
A - B = 2 x d - (2 x f + 1) = 2 x d - 2 x f - 1
Donc A - B = 2 x d - 2 x f - 2 + 1
Donc A - B = 2 x (d - f - 1) + 1 qui est la forme des nombres impairs
Donc LA SOUSTRACTION D'UN NOMBRE PAIR AVEC UN NOMBRE IMPAIR ET INVERSEMENT DONNE UN NOMBRE IMPAIR
Division sur les nombres pairs
Dans ce cas on ne peut rien dire sur le résultat obtenu, en effet, on a:
A / B = (2 x d) / (2 x f) = d / f et le résultat dépend de ce rapport.