Nombre impair
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Définition
On appelle nombre impair un nombre qui n'est pas divisible par 2. Ce nombre peut se mettre sous la forme 2 x n + 1 avec n entier (pair ou impair)
Exemples :
- 3 (n vaut 1),
- 5 (n vaut 2),
- 9 (n vaut 4),
- 15 (n vaut 7),
- 655 (n vaut 327)
2, 4, 6, 68 sont des nombres pairs
Opérations sur les nombres impairs
Addition sur les nombres impairs
- La somme de 2 nombres impairs donne un nombre pair.
Démonstration
Soient a et b 2 nombres entiers impairs, on peut écrire :
- a = 2 × d + 1 avec d entier
- b = 2 × f + 1 avec f entier
Donc a + b = 2 × d + 1 + 2 × f + 1
D'où A + B = 2 × d + 2 × f + 2
Ce qui donne en factorisant A + B = 2 × (d + f + 1)
On retrouve bien la forme des nombres pairs, à savoir 2 × n, CQFD.
- La somme d'un nombre impair et d'un nombre pair donne un nombre impair.
Démonstration
Soient a et b 2 nombres entiers de parité différente, on peut écrire :
- a = 2 × d avec d entier
- b = 2 × f + 1 avec f entier
Donc a + b = 2 × d + 2 × f + 1
Ce qui donne en factorisant a + b = 2 × (d + f) + 1
On retrouve bien la forme des nombres impairs, à savoir 2 × n + 1, CQFD.
Multiplication sur les nombres impairs
- La multiplication de 2 nombres impairs donne un nombre impair.
Démonstration
Soient a et b 2 nombres entiers impairs, on peut écrire :
- a = 2 × d + 1 avec d entier
- b = 2 × f + 1 avec f entier
Donc a × b = (2 × d + 1) × (2 × f + 1)
Ce qui donne a × b = (2 × d × 2 × f) + 2 × d + 2 × f + 1
D'où a × b = 2 × (2 × d × f + d + f) + 1
On retrouve encore une fois un nombre sous la forme 2 × n + 1, CQFD.
- La multiplication d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre pair.
Démonstration
Soient a et b 2 nombres entiers de parité différente, on peut écrire :
- a = 2 × d avec d entier
- b = 2 × f + 1 avec f entier
Donc a × b = (2 × d) × (2 × f + 1)
Ce qui donne a × b = (2 × d × 2 × f) + (2 × d)
D'où a × b = 2 × (2 × d × f + d)
On retrouve encore une fois un nombre sous la forme 2 × n, CQFD.
Soustraction de nombres impairs
- La soustraction de 2 nombres impairs donne un nombre pair.
La démonstration est la même que pour l'addition sauf qu'à la fin on obtient a − b = 2 × (d − f)
- La soustraction d'un nombre pair et d'un nombre impair (ou inversement) donne un nombre impair.
Démonstration
Soient a et b 2 nombres entiers de parité différente, on peut écrire :
- a = 2 × d avec d entier
- b = 2 × f + 1 avec f entier
Donc b − a = 2 × f + 1 − 2 × d = 2 × (f − d) + 1
Qui est de la même forme que les nombres impairs.
Si on calcule a − b, on obtient :
a − b = −(b−a) = 2 × (d − f − 1) + 1 qui est la forme des nombres impairs, CQFD.
Division sur les nombres impairs
Dans ce cas on ne peut rien dire sur le résultat obtenu, en effet, on a :
- a = 2 × d + 1 avec d entier
- b = 2 × f + 1 avec f entier
a / b = (2 × d + 1) / (2 × f + 1) et le résultat dépend de ce rapport.