Nombre hyperréel
Les nombres hyperréels furent introduits par Abraham Robinson dans les années 60 dans le cadre de l'Analyse non-standard. Il se base sur l'axiomatique Zermelo-Fraenkel. Il ajoute 3 axiomes nouveaux :
- l'Idéalité
- Standard
- le Transfert
Ces 3 axiomes sont plus connus sous le nom IST. Robinson rejoint les préoccupations d'Euler pour les nombres infinis.
Un nombre hyperréel est donc en quelque sorte un « nombre au-delà du réel » en étendant le champs réel à des quantités infinies ou dépendantes de l'infini.
« Construction »
La « construction » des hyperréels se fait à partir d'un Ultrafiltre (ensemble de sous-ensembles appelé aussi ensemble large et possédant certaines propriétés). On parle alors de l'"ensemble externe" * R des hyperréels dont l'existence est démontrée par l'utilisation de l'Axiome du choix , et défini comme une Ultra-puissance de R.
Définition
Un nombre x est dit hyperréel si et seulement si
- x est infinitésimal, si |x| est strictement inférieur à tout cardinal positif d'un ensemble d'éléments standard ou plus simplement à tout « standard positif ».
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| Modifier |
- x est infiniment grand autrement dit si 1/x est infinitésimal .