Nombre d'or

Le nombre d'or, habituellement désigné par la lettre φ (phi) de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte grec du Parthénon, est le nombre :

C'est l'unique solution positive de :

ou, comme φ est différent de 0

Deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or ou dans la divine proportion, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit, i.e.

De manière équivalente, ils sont dans le rapport du nombre d'or si le rapport du plus grand par le plus petit est égal au rapport du plus petit par leur différence :

De simples manipulations algébriques, (multiplication de la première par a/b et de la seconde par (a-b)/b), montrent que ces deux relations sont équivalentes à :

et ainsi

Le fait qu'un segment soit divisé en deux morceaux de longueurs a et b qui restent dans le rapport du nombre d'or est aussi (dans les vieux textes) exprimé comme « la longueur est coupée en extrême et moyenne raison ».

On suppose que les Égyptiens et Grecs de l'Antiquité connaissaient déjà la proportion d'or — parler du nombre d'or à cette époque est anachronique — et, parce qu'ils la considéraient comme une proportion esthétiquement agréable ; certains auteurs l'ont retrouvée dans la construction de monuments comme le Parthénon ou les grandes pyramides. Les sceptiques répliquent qu'en cherchant un quotient aussi fréquent, on en trouve facilement une approximation n'importe où.

Le pentagramme, si populaire pour les pythagoriciens, contient aussi des sections d'or, dans le quotient d'une diagonale par un côté. Il est aussi parfois utilisé dans les constructions modernes telles que les escaliers et les bâtiments. Une légende moderne affirme que le quotient des côtés d'une feuille au format A4 est le nombre d'or, il s'agit en fait de (un A4 coupé en deux a la même forme). Des études récentes affirment que la proportion d'or joue un rôle dans la perception humaine de la beauté, des formes et de l'expression des corps. Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un coté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le coté du carré pointé. (ceci est un « secret » de compagnonnage)

Voici une raison possible de l'attrait suscité par le rectangle d'or : considérons un rectangle dont les côtés de longueurs a et b sont dans un rapport du nombre d'or :

    |...........a..........|
 
    +-------------+--------+   -
    |             |        |   .
    |             |        |   .
    |      B      |   A    |   b
    |             |        |   .
    |             |        |   .
    |             |        |   .
    +-------------+--------+   -
 
    |......b......|..a-b...|
 

Si de ce rectangle, nous supprimons le carré B de côtés de longueur b, alors le rectangle restant A est à nouveau un rectangle d'or, puisque ses côtés sont dans un rapport : b est à a-b comme a est à b soit φ. En itérant cette construction, nous obtenons une suite de rectangles d'or de plus en plus petits; en dessinant un quart de cercle dans chacun des carrés effacés, nous obtenons une figure qui ressemble à une spirale logarithmique.

Puisque φ est défini comme étant la racine d'une équation polynomiale, c'est un nombre algébrique. Il peut être montré que φ est un nombre irrationnel.

Comme , la représentation de φ en fraction continue s'écrit :

Comme , la représentation de φ avec une itération infinie de racines carrées s'écrit :

Le nombre φ apparaît souvent en géométrie, en particulier dans le pentagone régulier ou dans l'étoile à cinq branches. Par exemple, le rapport de la longueur d'un côté d'un pentagone régulier par la longueur d'une diagonale est égal à φ, et les sommets d'un isocaèdre régulier se trouvent sur trois rectangles d'or.

L'expression explicite des termes d'une suite de Fibonacci utilise le nombre d'or et son inverse.

De plus, la limite des rapports des termes successifs de la suite de Fibonacci est égal au nombre d'or.

Le nombre d'or a des propriétés intéressantes lorsqu'il est utilisé comme base d'un système de nombre (voir base d'or).

« La géométrie a deux grands trésors : l'un est le théorème de Pythagore ; l'autre la division d'un segment en proportion d'or. Le premier, nous pouvons le comparer à une mesure de l'or ; le second nous pouvons l'appeler un précieux bijou. »

— Johannes Kepler

Quoi qu'on puisse penser de l'intérêt réel du nombre d'or en tant que tel en matière d'esthétique, il est clair qu'un consensus entre les architectes sur une proportion ou une autre — et donc pourquoi pas celle-là — ne pouvait que donner à un ensemble de bâtiments ayant des concepteurs différents un début d'harmonie commune. En ce sens, son rôle principal aurait concerné des question d'urbanisme plus que d'architecture. Toutefois, l'intérêt architectural de ce nombre est, que si vous ajoutez, ou bien soustrayez, un carré à un rectangle au nombre d'or, vous retrouvez un rectangle au nombre d'or, ce qui simplifie le travail pour composer une façade suivant des tracés régulateurs. De plus, cette relation complémentaire entre le carré et le rectangle d'or donne une impression de grande stabilité visuelle.

Origines

Le nombre d'or fut découvert au 5eme siecle avant JC, suite à l'obervation du Cycle métonique (études des phases de la lune), il fut gravé sur les colonnes d'un temple d'Athènes par Phidias, qui fût ainsi à l'origine de son nom.

Voir aussi : angle d'or

See also: Nombre d'or, 0 (nombre), Alphabet grec, Angle d'or, Antiquité, Architecture, Athènes, Base d'or, Cycle métonique, Esthétique