Morphisme

En mathématiques, un morphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure algébrique, qui respecte cette structure.

Cette notion est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne une définition formelle bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une fonction, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles.

Les morphismes peuvent être classifiés:

un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
un isomorphisme est un morphisme $f$ entre deux ensemble munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme $f'$ dans le sens inverse, tels que $f\circ f'$ et $f'\circ f$ sont les identités des structures ;
un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme $f : A\to B$ tel que : pour tout couple $g, h$ de morphismes de type $B\to E$ (et donc aussi pour tout $E$ ), si $g\circ f=h\circ f$ , alors $g = h$ ;
un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme $f : A\to B$ tel que : pour tout couple $g, h$ de morphismes de type $E\to A$ (et donc aussi pour tout $E$ ), si $f\circ g=f\circ h$ , alors $g = h$ .

Exemple: l'identité d'un ensemble est toujours un morphisme, quel que soit la structure considérée. Et c'est un automorphisme...

Sommaire

1 Cas des groupes

2 Cas des anneaux

3 Cas des espaces vectoriels

4 Cas des ensembles ordonnés

5 Ensembles isomorphes

6 Applications pratiques

Cas des groupes

Si on est dans le cas de deux groupes, cette définition se précise de la façon suivante: un morphisme $f$ entre $(G, * )$ et $(G', * ')$ , vérifie donc:

$\forall g,h\in G, f(g*h)=f(g)*'f(h)$

voir article détaillé: homomorphisme de groupe

Cas des anneaux

Dans le cas de deux anneaux $\left(A,+,*,0_A\right)$ et $\left(A',+',*',0_{A'}\right)$ , un morphisme $f$ vérifie donc:

$\forall a,b\in A, f(a+b)=f(a)+'f(b)$
$\forall a,b\in A, f(a*b)=f(a)*'f(b)$

si les anneaux considérés sont de plus unitaires, on parle de morphisme unitaire lorsque

$f\left(1_A\right)=1_{A'}$ .

Il faut noter qu'un morphisme d'anneaux entre anneaux unitaires n'est pas forcément unitaire, comme le montre l'exemple suivant: si on choisit un ensemble $E$ infini, et une sous-partie $F$ de $E$ finie et que l'on munit les ensembles des parties de ces ensembles de la structure d'anneau où la somme est l'union disjointe et le produit est l'intersection, il est clair que l'inclusion des parties de $F$ dans les parties de $E$ est un morphisme d'anneau, mais n'est pas un morphisme d'anneau unitaire... En effet, c'est l'ensemble $E$ tout entier qui est élément neutre pour l'intersection dans l'ensemble des parties de $E$ , mais l'élément neutre des parties de $F$ est $F$ ... donc son image par l'inclusion n'est pas l'élément neutre de l'anneau d'arrivée!

Cas des espaces vectoriels

Dans le cas de 2 $\mathbb K$ -espaces vectoriels $(E, + ,.)$ et $(F, + ',.)$ , un morphisme vérifie :

$f$ est un morphisme de groupe pour $(E, + )$ et $(F, + ')$
$\forall x\in E , \forall \lambda\in\mathbb{K}, f(\lambda . x ) = \lambda . f(x)$

Ce qui est équivalent à :

$\forall (x,y)\in E \times E , \forall (\lambda , \mu )\in\mathbb{K \times K}, f(\lambda . x + \mu . y) = \lambda . f(x) + \mu . f(y)$

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) :

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une fonction de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante.

Ensembles isomorphes

On dit que les ensembles $E$ et $F$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$ .

Savoir que deux ensembles sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrées de l'un à l'autre.

Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ .

Applications pratiques

L'étude des morphismes a des applications particulièrement importantes dans la Physique moderne, en particulier la Mécanique quantique.