Module sur un anneau
Un module sur un anneau unitaire est une structure algébrique qui s'apparente à celle d'un espace vectoriel sur un corps mais qui n'en possède pas toutes les propriétés.
Définition
Si A est un anneau unitaire, et (M , +) un groupe commutatif (ou abélien).
Si de plus, M est muni d'une loi externe . de A × M dans M vérifiant, pour tous éléments a et b de A et x, y de M:
- a.(x + y) = a.x + a.y (distributivité 1)
- (a + b).x = a.x + a.y (distributivité 2) On remarquera que la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M
- 1.x = x
- (ab).x = a.(b.x)
alors (M, + , . ) est un A-module.
Ce qui a été défini ici est un A-module à gauche, car, dans la loi externe, les éléments de A sont à gauche. On pourra définir de même un A-module à droite.
Les éléments de A sont appelés les scalaires.
La structure de A-module apparait dans celle d'algèbre sur un anneau.
Lorsque A est un corps, le A-module devient un A-espace vectoriel.
Propriétés
Dans la définition, n'apparaissent pas les propriétés sur les éléments neutres additifs. Ce sont des conséquences des définitions. Pour tout de A et x de M, on a
- a.0 = 0
- 0.x = 0
Exemples
- L'ensemble des vecteurs du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs forme un
-module.
- Tout groupe abélien est automatiquement un -module pour la loi externe définie par
- pour n > 0, n.x = x + ... + x avec n termes x
- pour n = 0 0.x = 0
- pour n < 0, n.x = -(x + ...+ x) avec |n| termes x