Méthode des trapèzes

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En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

$\int_{a}^{b} f(x)dx$

Sommaire

1 Intervalle unique

2 Intervalles multiples

3 Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes

4 Divers théorèmes

5 Applications des formules de Newton-Cotes

6 Voir aussi

Intervalle unique

Le principe est d'approximer la région sous la fonction $f (x)$ par un trapèze et d'en calculer l'aire. Ce qui nous donne

$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.$

Intervalles multiples

Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle $[a, b]$ en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux :

$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + R_n(f)$

$R_n(f)\,$ est l'erreur de quadrature et vaut: $-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi)$ pour un $\xi \in [a,b]\,$

Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes

Voici le découpage d'une fonction f que l'on veut intégrer sur l'intervalle $[0;2]$ $f(x)=1.1 + \ln(e-\frac{x}{100}+\frac{3}{5}\operatorname{tanh}(\ln(x+10^{-7})+1))\cos \,x + \frac{2}{5}(x-\frac{\cos(3x)}{5})^2 \,\!$ $\cdot \cdot \cdot + \frac{11}{100} \sqrt{2+2x} \sin (\frac{44}{25}(4+3\sqrt{x})x-\frac{19}{20}x^5)-e^{\frac{x}{3}} \,\!$

Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
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Exemple avec n=2

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Exemple avec n=8

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Exemple avec n=16

Divers théorèmes

Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur $[a, b]$ , la méthode des trapèzes est convergente sur $C 2 ([a, b])$ .
Théorème : La méthode des trapèzes est stable.

Applications des formules de Newton-Cotes

La méthode des trapèzes est une application des formules de Newton-Cotes, la méthode de Simpson en est une autre.

Voir aussi

Calcul intégral (mathématiques élémentaires)