Méthode des différences finies

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Dans le domaine de l'analyse numérique, on peut être amené à rechercher la solution d'une équation aux dérivées partielles. Dans la méthode des différences finies, on approxime l'opérateur différentiel u'(x) par un autre opérateur défini ainsi

u'(x) \approx \frac{u(x+h) - u(x)}{h}

pour h petit et fini (parfois appelé Δx). Réaliser cette substitution pour un grand nombre de points du domaine de définition (par exemple 0,h,2h,...,1 dans le cas d'un intervalle unitaire) donne un système d'équations qui peut être résolu algébriquement.

Toutes les démonstrations se font grâce au théorème de Taylor.

Dérivées secondes

De la même manière, on peut écrire le même type d'équation pour les dérivées secondes

u''(x) \approx \frac{u(x+h) - 2u(x)+u(x-h)}{h^2}

Il est important de noter qu'à la frontière du domaine, il peut manquer des points. Les 2 moyens d'y remédier sont :

Erreur d'approximation

L'erreur entre la solution approchée et la solution réelle est déterminée par l'erreur de troncature. Le nouvel opérateur peut être vu comme la restriction à une partie finie d'une série de Taylor qui possède un nombre infini de termes.

u(x+h)=u(x)+hu'(x)+\frac{h^2}{2}u''(c) où x < c < x + h.

Voir aussi

See also: Méthode des différences finies, Analyse numérique, Mathématiques, Méthode des éléments finis, Série de Taylor, Théorème de Taylor, Équation aux dérivées partielles