Fonction méromorphe
Une fonction méromorphe est une fonction holomorphe dans le plan complexe, sauf éventuellement sur un ensemble de points isolés dont chacun est un pôle pour la fonction. Ces pôles sont des singularités.
Toute fonction méromorphe peut s'écrire comme le rapport de deux fonctions entières (dont celle du dénominateur n'est pas identiquement nulle) : les pôles de la fonction sont des zéros du dénominateur.
Des exemples de fonctions méromorphes sont
- toutes les fonctions rationnelles comme f(z) = (z3-2z + 1)/(z5+3z-1),
- les fonctions définies par f(z) = exp(z)/z ou par f(z) = sin(z)/(z-1)2 ou même la fonction Gamma d'Euler et la fonction Zeta de Riemann.
Les fonctions définies par f(z) = ln(z) et par f(z) = exp(1/z) ne sont pas méromorphes.
En termes de surface de Riemann, une fonction méromorphe est comme une fonction holomorphe du plan complexe dans la sphère de Riemann qui n'est pas la constante infinie. Les pôles correspondent aux nombres complexes qui sont envoyés sur ∞.