Lois de Kepler, démonstration
Lois de Kepler, démonstration
Les lois de Kepler ont été découvertes à partir des observations de Tycho Brahé(1546-1601) et de leur analyse poussée par Johannes Kepler (1571-1630). Elles ont été démontrées par Isaac Newton (1642-1727) en 1687 dans les Principia, œuvre considérée comme un monument de la pensée humaine. Les démonstrations qui suivent ne sont pas celles de Newton, pour des raisons diverses (cf Principia et Calculus).
Première loi (1609)
La trajectoire d'une planète, M, est plane , elliptique, un foyer étant le Soleil, S, de masse M1.
Démonstration du fait que la trajectoire est plane :
Cela résulte du fait que le Soleil , S ,attire la planète M selon une force centrale -f(r). SM . En effet , étant données une position SM° et une vitesse V° initiales, cela définit un plan, orthogonal au vecteur unitaire k, parallèle à SM°/\V°. L'accélération restant dans ce plan, z(t) reste toujours nulle.
Deuxième loi, loi des aires (1609)
Soit A(t)l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur SM durant le mouvement :
des aires égales sont balayées dans des temps égaux.
On prend souvent l'origine des temps au périhélie, P ( point de la trajectoire près de Hélios) : A(t) = A(T).t/T , T étant la période du mouvement.
Démonstration :
Cela résulte du fait que la force est centrale (voir article force centrale, mouvement); le moment cinétique, L , est donc constant. La constante des aires C = L°/m est telle que 2.dA(t)/dt = r2.dθ / dt = C = 2.A(T)/T si on prouve que la trajectoire est fermée.
Or ,on va démontrer que c'est une ellipse. Ce fait est directement lié au fait que l'hodographe est un cercle dans le cas de l'attraction universelle de Newton : car le principe fondamental de la dynamique s'écrit:
dV/dt = - GM1. u/r² = - GM1. u /C .dθ/dt , soit :
dV = - GM1/C . u.dθ , d'où en intégrant :
V = GM1/C . k/\u + cste.
(dit théorème de Hermann,Laplace, Runge, Lenz, Hamilton : cf invariant de Runge Lenz).
Quand u varie , l'hodographe est décrit selon un cercle excentré par rapport à S.Il en résulte que la trajectoire est une conique : si S est intérieur, la conique est une ellipse; extérieur, une hyperbole ;cas limite : une parabole.(Ce théorème de cinématique est très vieux, mais on l'attribue à tort à Hamilton; il était encore enseigné dans le cours de cosmographie de « math-élem » (terminale S actuelle):voir par exemple Lebossé,cours de mathématiques élémentaires).On va en donner la démonstration du Landau,très algébrique:
le théorème précédent se réécrit après multiplication vectorielle par k :
e = u + L°/\V/GM1m²
puis en multipliant scalairement par SM :
e r cos θ = r - p , avec p = L°²/GM1m²
soit r = p/(1- e cos θ)
ce qui est la définition focale d'une conique en coordonnées polaires , d'excentricité e (: = c/a) , et de paramètre p ( : = b²/a), d'angle polaire ayant pour origine l'aphélie. Si on prend ; comme il est usuel le périhélie comme origine : r = p/(1 + e cos θ).
Troisième loi (1618)
Le carré de la période T varie comme le cube du demi-grand axe a : ω3.a3 = GM1
GM1 s'appelle la constante de Gauss: elle est connue avec une extraordinaire précision, dix chiffres significatifs ( alors que G n'a que 5 misérables chiffres significatifs):valeur k = 0.01720209895
Démonstration : on a vu p = b²/a = C²/GM1 et C = 2Aire/T = 2πab/T = ω.ab: C/b s'élimine, d'où le résultat promis.
On remarquera ce fait extraordinaire, TOUTES les ellipses de même grand axe , QUELLE QUE SOIT e , ont la même période, la circulaire (e=0) comme la rectiligne ("segment AS,SA") (e=1).
La disposition des planètes est assez remarquable ( loi de Titius-Bode), tant par leur faible excentricité que par leur faible inclinaison sur le plan écliptique moyen. Le scénario cosmogonique de Levinson -Morbidelli le justifie , écartant ainsi Pluton et Selda des planètes ordinaires et les faisant entrer dans la catégorie des « petits » objets de la ceinture de Kuiper.