Loi des tangentes

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Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

a = BC et α = Â ;
b = AC et β = B ;
c = AB et γ = C.

Alors,

$\frac{\frac{a-b}2 }{\frac {a+b}2 } = \frac{\tan \frac{\alpha-\beta}2 }{\tan \frac{\alpha+\beta}2 }$ .

Généralisation aux géométries non euclidiennes

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Fig. 2 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

$\,\rho = 1/\sqrt{|K|}$ .

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

$\,a = BC/\rho$ ,

$\,b = AC/\rho$ ,

$\,c = AB/\rho$ .

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 2).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC (Fig. 2), la loi des tangentes devient :

$\frac{\tan\frac{a-b}2 }{\tan\frac{a+b}2 } = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2 }{\tan\frac{\alpha+\beta}2}$ .

Loi des tangentes

Généralisation aux géométries non euclidiennes

Géométrie sphérique

Voir également

See also: Loi des tangentes, Angle, Fonction trigonométrique, Géométrie, Géométrie non euclidienne, Loi des sinus, Longueur, Théorème d'Al-Kashi, Triangle, Triangulation