Loi des sinus

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Triangle_and_circumcircle_with_notations.png

Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

a = BC et α = Â ;
b = AC et β = B ;
c = AB et γ = C.

Alors,

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R$ ,

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

$\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma$

Sommaire

1 Utilisation

2 Généralisation aux géométries non euclidiennes

2.1 Géométrie sphérique
2.2 Géométrie hyperbolique

3 Généralisation à l'espace euclidien

4 Voir également

5 Bibliographie

Utilisation

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Fig. 2 - Résolution d'un triangle par la loi des tangentes

Le théorème peut être utilisé

pour déterminer le rayon du cercle inscrit
$\,R = \frac{a}{2\sin\alpha}$
pour résoudre un triangle dont on connaît un angle, un côté adjacent à l'angle et un côté opposé (cf. Fig. 2 ci-contre)
$\gamma = \arcsin \frac{c\sin\beta}{b}$ .

Généralisation aux géométries non euclidiennes

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Spherical_triangle_with_notations.png

Fig. 3 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

$\,\rho = 1/\sqrt{|K|}$ .

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

$\,a = BC/\rho$ ,

$\,b = AC/\rho$ ,

$\,c = AB/\rho$ .

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 3).

Géométrie sphérique

Dans un triangle sphérique ABC dessiné sur la sphère de centre O et de rayon ρ (Fig. 3), la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c}$ ,

où V_OABC est le volume du tétraèdre OABC.

Géométrie hyperbolique

Dans un triangle hyperbolique, la loi des sinus s'écrit

$\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}$ .

Généralisation à l'espace euclidien

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Tetrahedron_with_faces_and_dihedral_angles.png

Fig. 3 - Tétraèdre : faces et angles diédraux.

On considère un tétraèdre A₁A₂A₃A₄ de l'espace euclidien. La figure 3 ci-contre présente les notations concernant les sommets, faces et angles dans le tétraèdre :

$\,\mathrm S_k$ la face opposée opposée au sommet $\mathrm A_k\$ ;
$\,s_k$ la surface de $\mathrm S_k\$ ;
$\,\Delta_k$ le plan dans lequel $\mathrm S_k\$ est plongée ;
$\,\theta_{ij}$ l'angle diédral $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$ .

On définit le sinus de l'angle triédral formé par les sommets $A 1$ , etc. comme suit

$\sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}$ ;
etc.

Alors

$\frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V}$ ,

où V est le volume du tétraèdre.

Voir également

Bibliographie

Loi des sinus sur le site Math World (en anglais)
Loi des sinus généralisée sr le site Math World (en anglais)